• Recall and use the fact that the mean power in a resistive load is half the maximum power for a sinusoidal alternating current.

• Students will be able to define and explain key terms such as alternating current (AC), sinusoidal, resistive load, instantaneous power, maximum power, mean power, and root mean square (RMS) values in English.
• Students will be able to explain why mean power is a significant concept for AC circuits.
• Students will be able to describe and use the relationship P_mean = ¹/₂P_max for a sinusoidal AC in a resistive load.
• Students will be able to apply formulas to calculate mean and maximum power in resistive AC circuits, articulating their reasoning in English.

Let’s familiarize ourselves with the key terms for this topic. Төмендегі кестеде осы тақырып бойынша негізгі терминдер берілген.

To help you memorize these terms, you can use flashcards. Check out this set on Quizlet (or create your own!):

Search for AC Power & RMS Flashcards on Quizlet

Alternatively, create physical flashcards for active recall.

Understand the definitions of key concepts. Төменде негізгі ұғымдардың анықтамалары берілген.

• Alternating Current (AC): Electric current that periodically reverses direction and changes its magnitude continuously with time, typically sinusoidally.
  
  Translation (RU/KZ)

  Переменный ток (ПТ): Электрический ток, который периодически изменяет направление и непрерывно изменяет свою величину со временем, обычно синусоидально.
  Айнымалы ток (АТ): Электр тогы, ол мерзімді түрде бағытын өзгертеді және уақыт өте келе өз шамасын үздіксіз өзгертеді, әдетте синусоидалы түрде.
  
• Sinusoidal Current: An alternating current that varies with time according to a sine function (e.g., i = I₀ sin(ωt)).
  
  Translation (RU/KZ)

  Синусоидальный ток: Переменный ток, который изменяется со временем по синусоидальному закону (например, i = I₀ sin(ωt)).
  Синусоидалы ток: Синус функциясына сәйкес уақыт бойынша өзгеретін айнымалы ток (мысалы, i = I₀ sin(ωt)).
  
• Resistive Load: A component in an electrical circuit that offers opposition to current flow, converting electrical energy into heat energy, and where the current and voltage are in phase.
  
  Translation (RU/KZ)

  Резистивная нагрузка: Компонент электрической цепи, который оказывает сопротивление протеканию тока, преобразуя электрическую энергию в тепловую, и в котором ток и напряжение совпадают по фазе.
  Резистивті жүктеме: Электр тізбегіндегі ток ағынына қарсылық көрсететін, электр энергиясын жылу энергиясына айналдыратын және ток пен кернеу фазалары сәйкес келетін компонент.
  
• Instantaneous Power (p): The power dissipated or supplied in a circuit component at a specific instant in time. For a resistor, p = i²R = v²/R = vi, where i and v are instantaneous values.
  
  Translation (RU/KZ)

  Мгновенная мощность (p): Мощность, рассеиваемая или поставляемая компонентом цепи в определенный момент времени. Для резистора p = i²R = v²/R = vi, где i и v — мгновенные значения.
  Лездік қуат (p): Тізбек компонентінде белгілі бір уақыт мезетінде бөлінетін немесе жеткізілетін қуат. Резистор үшін p = i²R = v²/R = vi, мұндағы i және v – лездік мәндер.
  
• Maximum Power (P_max or P₀): The peak value of the instantaneous power in an AC circuit. For a sinusoidal current I₀sin(ωt) in a resistor R, P_max = I₀²R.
  
  Translation (RU/KZ)

  Максимальная мощность (P_макс или P₀): Пиковое значение мгновенной мощности в цепи переменного тока. Для синусоидального тока I₀sin(ωt) в резисторе R, P_макс = I₀²R.
  Максималды қуат (P_макс немесе P₀): Айнымалы ток тізбегіндегі лездік қуаттың ең жоғары мәні. Резистордағы R синусоидалы I₀sin(ωt) тогы үшін P_макс = I₀²R.
  
• Mean Power (P_mean or <P>): The average power dissipated or supplied over one complete cycle of alternating current. For a sinusoidal AC in a resistive load, P_mean = ¹/₂ P_max. Also P_mean = I_rmsV_rms = I_rms²R = V_rms²/R.
  
  Translation (RU/KZ)

  Средняя мощность (P_ср или <P>): Средняя мощность, рассеиваемая или поставляемая за один полный цикл переменного тока. Для синусоидального переменного тока в резистивной нагрузке, P_ср = ¹/₂ P_макс. Также P_ср = I_дейстV_дейст = I_дейст²R = V_дейст²/R.
  Орташа қуат (P_орт немесе <P>): Айнымалы токтың бір толық циклі ішінде бөлінетін немесе жеткізілетін орташа қуат. Резистивті жүктемедегі синусоидалы айнымалы ток үшін P_орт = ¹/₂ P_макс. Сондай-ақ P_орт = I_әсерV_әсер = I_әсер²R = V_әсер²/R.
  
• Root Mean Square (RMS) Value: The effective value of an alternating current or voltage. It is the value of a direct current (or voltage) that would produce the same heating effect (power dissipation) in a resistor as the alternating current (or voltage). For sinusoidal waveforms, V_rms = V₀/√2 and I_rms = I₀/√2.
  
  Translation (RU/KZ)

  Действующее (среднеквадратичное) значение: Эффективное значение переменного тока или напряжения. Это значение постоянного тока (или напряжения), которое произвело бы такой же тепловой эффект (рассеивание мощности) в резисторе, как и переменный ток (или напряжение). Для синусоидальных форм волны, V_дейст = V₀/√2 и I_дейст = I₀/√2.
  Орташа квадраттық мән (RMS): Айнымалы токтың немесе кернеудің әсерлік мәні. Бұл резисторда айнымалы ток (немесе кернеу) сияқты бірдей жылу эффектісін (қуат бөлінуін) тудыратын тұрақты токтың (немесе кернеудің) мәні. Синусоидалы толқын пішіндері үшін V_әсер = V₀/√2 және I_әсер = I₀/√2.
  

In circuits with alternating current (AC), quantities like voltage, current, and power are constantly changing. Therefore, it’s often more useful to talk about average or effective values, especially for power.

1. Alternating Current and Voltage in a Resistive Load

A sinusoidal alternating current can be represented by the equation:

i = I₀ sin(ωt)

Where ‘i’ is the instantaneousлездік/мгновенный current, I₀ is the peak (maximum) current, ω is the angular frequency (ω = 2πf, where f is the frequency), and t is time.

If this current flows through a purely resistive load R, the instantaneous voltage ‘v’ across the resistor is in phase with the current and is given by Ohm’s Law (v = iR):

v = (I₀R) sin(ωt) = V₀ sin(ωt)

Where V₀ = I₀R is the peak (maximum) voltage.

2. Instantaneous Power (p)

The instantaneous power ‘p’ dissipated in the resistor at any time ‘t’ is the product of the instantaneous current ‘i’ and instantaneous voltage ‘v’:

p = iv

p = (I₀ sin(ωt)) * (V₀ sin(ωt))

p = I₀V₀ sin²(ωt)

Since V₀ = I₀R, we can also write:

p = I₀²R sin²(ωt)

Or, using V₀:

p = (V₀²/R) sin²(ωt)

Key features of instantaneous power in a resistive load:

• Since sin²(ωt) is always positive or zero (it varies between 0 and 1), the instantaneous power ‘p’ is always positive or zero. This means power is always being dissipated by the resistor, never returned to the source.
• The power pulsates at twice the frequency of the current or voltage (because sin²(ωt) = ¹/₂(1 — cos(2ωt))).

3. Maximum Power (P_max)

The instantaneous power p = I₀²R sin²(ωt) is maximum when sin²(ωt) = 1.

So, the maximum power P_max (or P₀) is:

P_max = I₀²R

Alternatively, P_max = V₀²/R or P_max = I₀V₀.

4. Mean Power (P_mean)

Since the instantaneous power varies, the meanорташа/средняя (or average) power over one complete cycle is a more useful measure of the energy dissipation rate.

P_mean = average of (I₀²R sin²(ωt)) over one cycle.

Since I₀²R is constant, P_mean = I₀²R * (average of sin²(ωt) over one cycle).

The average value of sin²(ωt) over one complete cycle is ¹/₂.
[Image of График sin^2(ωt) показывающий среднее значение 1/2]
Therefore, the mean power P_mean is:

P_mean = I₀²R * (¹/₂)

P_mean = ¹/₂ I₀²R

Comparing this with the maximum power P_max = I₀²R, we get the key relationship:

P_mean = ¹/₂ P_max

This means that for a sinusoidal alternating current in a resistive load, the mean power dissipated is half the maximum (peak) power dissipated.

5. Root Mean Square (RMS) Values and Mean Power

RMS values are effective values for AC. The RMS current (I_rms) is the value of DC that would dissipate the same mean power in the same resistor.

For sinusoidal AC:

I_rms = I₀ / √2

V_rms = V₀ / √2

The mean power can also be expressed using RMS values, similar to DC power formulas:

P_mean = I_rms²R

P_mean = V_rms²/R

P_mean = I_rmsV_rms (for a resistive load)

Let’s check consistency:

P_mean = I_rms²R = (I₀/√2)²R = (I₀²/2)R = ¹/₂ I₀²R.

Since P_max = I₀²R, this confirms that P_mean = ¹/₂ P_max.

Check Your Understanding / Өзіңді тексер:

1. Easy: What is the relationship between mean power and maximum power for a sinusoidal AC in a purely resistive load?
   
   Answer / Жауабы

   For a sinusoidal AC in a purely resistive load, the mean power (P_mean) is half the maximum power (P_max). So, P_mean = ¹/₂ P_max.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Таза резистивті жүктемедегі синусоидалы айнымалы ток үшін орташа қуат (P_орт) максималды қуаттың (P_макс) жартысына тең. Сонымен, P_орт = ¹/₂ P_макс.
   
   [/su_spoiler]
2. Medium: An AC current in a resistor is given by i = 4.0 sin(100πt) A. If the resistance is 10 Ω, what is the maximum power dissipated and what is the mean power dissipated?
   
   Answer / Жауабы

   From i = 4.0 sin(100πt) A, the peak current I₀ = 4.0 A.
   Resistance R = 10 Ω.
   Maximum power P_max = I₀²R = (4.0 A)² * (10 Ω) = 16 * 10 = 160 W.
   Mean power P_mean = ¹/₂ P_max = ¹/₂ * 160 W = 80 W.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   i = 4.0 sin(100πt) А теңдеуінен, I₀ ең жоғары ток = 4.0 А.
   Кедергі R = 10 Ом.
   Максималды қуат P_макс = I₀²R = (4.0 А)² * (10 Ом) = 16 * 10 = 160 Вт.
   Орташа қуат P_орт = ¹/₂ P_макс = ¹/₂ * 160 Вт = 80 Вт.
   
   [/su_spoiler]
3. Medium: The RMS voltage across a 50 Ω resistor is 120 V. Calculate the mean power dissipated in the resistor and the peak power dissipated.
   
   Answer / Жауабы

   Given V_rms = 120 V, R = 50 Ω.
   Mean power P_mean = V_rms² / R = (120 V)² / 50 Ω = 14400 / 50 = 288 W.
   Since P_mean = ¹/₂ P_max, then P_max = 2 * P_mean.
   P_max = 2 * 288 W = 576 W.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Берілгені V_әсер = 120 В, R = 50 Ом.
   Орташа қуат P_орт = V_әсер² / R = (120 В)² / 50 Ом = 14400 / 50 = 288 Вт.
   P_орт = ¹/₂ P_макс болғандықтан, P_макс = 2 * P_орт.
   P_макс = 2 * 288 Вт = 576 Вт.
   
   [/su_spoiler]
4. Hard (Critical Thinking): A DC source of 10V is connected to a 5Ω resistor. Then, an AC source with a peak voltage of 10V is connected to the same 5Ω resistor. Compare the power dissipated in both cases. Which source delivers more average power and why?
   
   Answer / Жауабы

   DC Case:
   Voltage V_DC = 10 V. Resistance R = 5 Ω.
   Power P_DC = V_DC² / R = (10 V)² / 5 Ω = 100 / 5 = 20 W. This is a constant power.

   AC Case:
   Peak voltage V₀ = 10 V. Resistance R = 5 Ω.
   Maximum power P_max = V₀² / R = (10 V)² / 5 Ω = 100 / 5 = 20 W.
   Mean power P_{mean, AC} = ¹/₂ P_max = ¹/₂ * 20 W = 10 W.

   Comparison:
   The DC source delivers a constant power of 20 W.
   The AC source delivers a mean power of 10 W.
   The DC source delivers more average power (in fact, twice as much) than the AC source with the same peak voltage.

   Why:
   In the DC case, the voltage (and current) is constant, so the power dissipated is constant at its maximum value (calculated using the DC voltage).
   In the AC case, the voltage (and current) varies sinusoidally from zero up to its peak value (10V) and back, and also reverses direction. The instantaneous power also varies, from zero up to P_max (20W). Because the voltage and current are not always at their peak values, the average power over a cycle is less than the power that would be dissipated if the voltage were constantly at its peak. For a sinusoidal waveform, this average is exactly half the peak power.
   To get the same mean power from an AC source as from a DC source, the RMS voltage of the AC source would need to be equal to the DC voltage (V_rms = V_DC). In this problem, V_rms = V₀/√2 = 10V/√2 ≈ 7.07V, which is less than the 10V DC.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Тұрақты ток жағдайы:
   Кернеу V_ТТ = 10 В. Кедергі R = 5 Ом.
   Қуат P_ТТ = V_ТТ² / R = (10 В)² / 5 Ом = 100 / 5 = 20 Вт. Бұл тұрақты қуат.

   Айнымалы ток жағдайы:
   Ең жоғары кернеу V₀ = 10 В. Кедергі R = 5 Ом.
   Максималды қуат P_макс = V₀² / R = (10 В)² / 5 Ом = 100 / 5 = 20 Вт.
   Орташа қуат P_{орт, АТ} = ¹/₂ P_макс = ¹/₂ * 20 Вт = 10 Вт.

   Салыстыру:
   Тұрақты ток көзі 20 Вт тұрақты қуат береді.
   Айнымалы ток көзі 10 Вт орташа қуат береді.
   Тұрақты ток көзі бірдей ең жоғары кернеуі бар айнымалы ток көзіне қарағанда көбірек орташа қуат береді (шын мәнінде, екі есе көп).

   Неліктен:
   Тұрақты ток жағдайында кернеу (және ток) тұрақты, сондықтан бөлінетін қуат оның максималды мәнінде (тұрақты ток кернеуін пайдаланып есептелген) тұрақты болады.
   Айнымалы ток жағдайында кернеу (және ток) нөлден оның ең жоғары мәніне (10В) дейін және кері синусоидалы түрде өзгереді, сонымен қатар бағытын өзгертеді. Лездік қуат та нөлден P_макс-қа (20Вт) дейін өзгереді. Кернеу мен ток әрқашан өздерінің ең жоғары мәндерінде болмағандықтан, цикл бойынша орташа қуат кернеу үнемі өзінің ең жоғары мәнінде болғанда бөлінетін қуаттан аз болады. Синусоидалы толқын пішіні үшін бұл орташа мән ең жоғары қуаттың дәл жартысына тең.
   Айнымалы ток көзінен тұрақты ток көзімен бірдей орташа қуат алу үшін айнымалы ток көзінің RMS кернеуі тұрақты ток кернеуіне тең болуы керек (V_әсер = V_ТТ). Бұл есепте V_әсер = V₀/√2 = 10В/√2 ≈ 7.07В, бұл 10В тұрақты токтан аз.
   

   [/su_spoiler]

Activity 1: Relationship Check

For a sinusoidal AC in a resistive load, state the relationship between:

1. Mean Power (P_mean) and Maximum Power (P_max): P_mean = _________
2. RMS Current (I_rms) and Peak Current (I₀): I_rms = _________
3. RMS Voltage (V_rms) and Peak Voltage (V₀): V_rms = _________
4. Mean Power (P_mean), RMS Current (I_rms), and Resistance (R): P_mean = _________

Activity 2: Why Mean Power?

Briefly explain why ‘mean power’ is a more useful quantity than ‘maximum power’ when describing the energy consumption of most AC appliances.

Watch this video for a visual explanation of mean and maximum power in AC circuits:

This video explains the concepts of instantaneous, maximum, and mean power for AC in resistive loads.

Further viewing:

• Understanding RMS Voltage and Current — A Level Physics
• Power Factor in AC Circuits (More advanced, but shows resistive case as simplest)

Problem 1: A resistor of 20 Ω is connected to an AC supply. The peak current through the resistor is 5.0 A.

a) Calculate the maximum power dissipated in the resistor.

b) Calculate the mean power dissipated in the resistor.
[Image of Резистор, подключенный к источнику переменного тока]

Problem 2: An electric lamp is rated at 60 W when used with a 240 V RMS AC mains supply. Assume the lamp filament is a pure resistor.

a) Calculate the RMS current through the lamp.

b) Calculate the peak current through the lamp.

c) Calculate the maximum instantaneous power dissipated by the lamp.
[Image of Электрическая лампа, подключенная к сети]

Explore AC circuits using the PhET «Circuit Construction Kit: AC».

Simulation Link: Circuit Construction Kit: AC Simulation

Or embed if possible (check WordPress compatibility):

Tasks:

1. Build a simple circuit with an AC voltage source and a resistor.
2. Use the voltmeter and ammeter (Chart view) to observe the sinusoidal nature of voltage and current. Note the peak values (V₀, I₀).
3. Calculate the RMS values (V_rms = V₀/√2, I_rms = I₀/√2).
4. Calculate the maximum power (P_max = I₀V₀ or I₀²R).
5. Calculate the mean power (P_mean = I_rmsV_rms or ¹/₂P_max).
6. Change the AC voltage or resistance and observe how the peak and RMS values change, and consequently, how P_max and P_mean change. Verify the P_mean = ¹/₂P_max relationship.

Task: AC Power Graph Analysis with GoConqr or Formative

In pairs or small groups:

1. You are given the following graph showing the instantaneous current ‘i’ through a 20 Ω resistor as a function of time ‘t’.
   
   [Image of График синусоидального тока i(t) с указанием пикового значения и периода]
   (Assume the peak current I₀ is 3.0 A and the period T is 0.02 s).
2. From the graph (or given values):
   
   a) Determine the peak current I₀.
   
   b) Calculate the RMS current I_rms.
   
   c) Calculate the peak voltage V₀ across the resistor.
   
   d) Calculate the RMS voltage V_rms across the resistor.
   
   e) Calculate the maximum instantaneous power P_max dissipated.
   
   f) Calculate the mean power P_mean dissipated.
3. Sketch the graph of instantaneous power ‘p’ against time ‘t’ for one cycle. Clearly label P_max and indicate P_mean on your power graph.
4. Use a tool like GoConqr (e.g., create a slide deck or a note explaining your steps and showing the graphs) or Formative (create a short assignment with your calculations and graph sketch) to present your analysis.

Answer the following questions. Show all your working where calculations are required.

1. Analysis/Application: An AC supply provides a sinusoidal voltage with a peak value of 325 V. It is connected to a heating element with a resistance of 50 Ω.
   
   a) Calculate the RMS voltage of the supply.
   
   b) Calculate the RMS current through the heating element.
   
   c) Calculate the mean power dissipated by the heating element.
   
   d) Calculate the maximum instantaneous power dissipated by the heating element.
   
   Answer / Жауабы

   a) V₀ = 325 V. V_rms = V₀ / √2 = 325 V / √2 ≈ 230 V.
   
   b) R = 50 Ω. I_rms = V_rms / R = 230 V / 50 Ω = 4.6 A.
   
   c) P_mean = I_rmsV_rms = (4.6 A) * (230 V) = 1058 W (or P_mean = V_rms²/R = (230V)²/50Ω = 52900/50 = 1058 W).
   
   d) P_max = 2 * P_mean = 2 * 1058 W = 2116 W. (Alternatively, I₀ = I_rms√2 = 4.6√2 ≈ 6.505A. P_max = I₀V₀ ≈ 6.505A * 325V ≈ 2114W, or I₀²R ≈ (6.505)²*50 ≈ 2116W. Differences due to rounding.)
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) V₀ = 325 В. V_әсер = V₀ / √2 = 325 В / √2 ≈ 230 В.
   
   b) R = 50 Ом. I_әсер = V_әсер / R = 230 В / 50 Ом = 4.6 А.
   
   c) P_орт = I_әсерV_әсер = (4.6 А) * (230 В) = 1058 Вт (немесе P_орт = V_әсер²/R = (230В)²/50Ом = 52900/50 = 1058 Вт).
   
   d) P_макс = 2 * P_орт = 2 * 1058 Вт = 2116 Вт. (Баламалы түрде, I₀ = I_әсер√2 = 4.6√2 ≈ 6.505А. P_макс = I₀V₀ ≈ 6.505А * 325В ≈ 2114Вт, немесе I₀²R ≈ (6.505)²*50 ≈ 2116Вт. Айырмашылықтар дөңгелектеуге байланысты.)
   
   [/su_spoiler]
2. Analysis/Synthesis: A 1.5 kW electric kettle is designed to operate from a 230 V RMS AC supply.
   
   a) Calculate the resistance of the kettle’s heating element.
   
   b) Calculate the peak current drawn by the kettle.
   
   c) What is the maximum instantaneous power of the kettle?
   
   Answer / Жауабы

   a) P_mean = 1.5 kW = 1500 W. V_rms = 230 V.
   
   P_mean = V_rms² / R => R = V_rms² / P_mean = (230 V)² / 1500 W = 52900 / 1500 ≈ 35.27 Ω.
   
   b) I_rms = P_mean / V_rms = 1500 W / 230 V ≈ 6.522 A.
   
   I₀ = I_rms * √2 ≈ 6.522 A * √2 ≈ 9.22 A.
   
   c) P_max = 2 * P_mean = 2 * 1500 W = 3000 W (or 3.0 kW).
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) P_орт = 1.5 кВт = 1500 Вт. V_әсер = 230 В.
   
   P_орт = V_әсер² / R => R = V_әсер² / P_орт = (230 В)² / 1500 Вт = 52900 / 1500 ≈ 35.27 Ом.
   
   b) I_әсер = P_орт / V_әсер = 1500 Вт / 230 В ≈ 6.522 А.
   
   I₀ = I_әсер * √2 ≈ 6.522 А * √2 ≈ 9.22 А.
   
   c) P_макс = 2 * P_орт = 2 * 1500 Вт = 3000 Вт (немесе 3.0 кВт).
   
   [/su_spoiler]
3. Synthesis/Application: The mean power dissipated in a 100 Ω resistor is 50 W when connected to a sinusoidal AC source.
   
   a) Calculate the RMS current in the resistor.
   
   b) Calculate the peak voltage of the AC source.
   
   Answer / Жауабы

   a) P_mean = 50 W, R = 100 Ω.
   
   P_mean = I_rms²R => I_rms = √(P_mean / R) = √(50 W / 100 Ω) = √0.5 ≈ 0.707 A.
   
   b) V_rms = I_rmsR = (0.707 A) * (100 Ω) = 70.7 V.
   
   V₀ = V_rms * √2 = 70.7 V * √2 ≈ 100 V.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) P_орт = 50 Вт, R = 100 Ом.
   
   P_орт = I_әсер²R => I_әсер = √(P_орт / R) = √(50 Вт / 100 Ом) = √0.5 ≈ 0.707 А.
   
   b) V_әсер = I_әсерR = (0.707 А) * (100 Ом) = 70.7 В.
   
   V₀ = V_әсер * √2 = 70.7 В * √2 ≈ 100 В.
   
   [/su_spoiler]
4. Analysis/Evaluation: An AC voltage is described by v = 170 sin(120πt) V. This voltage is applied across a 30 Ω resistor.
   
   a) What is the peak voltage and the RMS voltage?
   
   b) What is the peak current and the RMS current?
   
   c) What is the maximum instantaneous power?
   
   d) What is the mean power dissipated?
   
   Answer / Жауабы

   a) From v = 170 sin(120πt) V, peak voltage V₀ = 170 V.
   
   V_rms = V₀ / √2 = 170 V / √2 ≈ 120.2 V (≈ 120 V).
   
   b) R = 30 Ω. Peak current I₀ = V₀ / R = 170 V / 30 Ω ≈ 5.67 A.
   
   I_rms = I₀ / √2 ≈ 5.67 A / √2 ≈ 4.01 A (or I_rms = V_rms/R ≈ 120.2V/30Ω ≈ 4.01A).
   
   c) P_max = V₀I₀ = (170 V) * (5.67 A) ≈ 963.9 W (or P_max = V₀²/R = 170²/30 ≈ 963.3W).
   
   d) P_mean = ¹/₂ P_max ≈ ¹/₂ * 963.3 W ≈ 481.7 W (or P_mean = V_rmsI_rms ≈ 120.2V * 4.01A ≈ 482W).
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) v = 170 sin(120πt) В теңдеуінен, V₀ ең жоғары кернеу = 170 В.
   
   V_әсер = V₀ / √2 = 170 В / √2 ≈ 120.2 В (≈ 120 В).
   
   b) R = 30 Ом. I₀ ең жоғары ток = V₀ / R = 170 В / 30 Ом ≈ 5.67 А.
   
   I_әсер = I₀ / √2 ≈ 5.67 А / √2 ≈ 4.01 А (немесе I_әсер = V_әсер/R ≈ 120.2В/30Ом ≈ 4.01А).
   
   c) P_макс = V₀I₀ = (170 В) * (5.67 А) ≈ 963.9 Вт (немесе P_макс = V₀²/R = 170²/30 ≈ 963.3Вт).
   
   d) P_орт = ¹/₂ P_макс ≈ ¹/₂ * 963.3 Вт ≈ 481.7 Вт (немесе P_орт = V_әсерI_әсер ≈ 120.2В * 4.01А ≈ 482Вт).
   
   [/su_spoiler]
5. Critical Thinking/Design: A student has two identical resistors. They can connect them to an AC source (with fixed V_rms) in series or in parallel. In which configuration (series or parallel) will the total mean power dissipated be greater? Explain your reasoning using relevant formulas.
   
   Answer / Жауабы

   Let each resistor have resistance R. The AC source has V_rms.
   
   Series Configuration:
   
   Total resistance R_series = R + R = 2R.
   
   Mean power P_series = V_rms² / R_series = V_rms² / (2R).

   Parallel Configuration:
   
   Total resistance R_parallel: 1/R_parallel = 1/R + 1/R = 2/R => R_parallel = R/2.
   
   Mean power P_parallel = V_rms² / R_parallel = V_rms² / (R/2) = 2 * (V_rms² / R).

   Comparison:
   
   P_parallel = 2 * (V_rms² / R)
   
   P_series = (1/2) * (V_rms² / R)
   
   Clearly, P_parallel = 4 * P_series.
   
   The total mean power dissipated will be greater in the parallel configuration.

   Reasoning:
   In the parallel configuration, the equivalent resistance is lower (R/2) than in the series configuration (2R). Since the voltage V_rms from the source is the same for both configurations, and mean power P_mean = V_rms² / R_eq, a lower equivalent resistance leads to a higher mean power dissipation. Each resistor in parallel has the full V_rms across it, drawing more current individually than they would in series (where the voltage is shared).
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Әрбір резистордың кедергісі R болсын. Айнымалы ток көзінің V_әсер кернеуі бар.
   
   Тізбектей қосу конфигурациясы:
   
   Жалпы кедергі R_{тізбектей} = R + R = 2R.
   
   Орташа қуат P_{тізбектей} = V_әсер² / R_{тізбектей} = V_әсер² / (2R).

   Параллель қосу конфигурациясы:
   
   Жалпы кедергі R_{параллель}: 1/R_{параллель} = 1/R + 1/R = 2/R => R_{параллель} = R/2.
   
   Орташа қуат P_{параллель} = V_әсер² / R_{параллель} = V_әсер² / (R/2) = 2 * (V_әсер² / R).

   Салыстыру:
   
   P_{параллель} = 2 * (V_әсер² / R)
   
   P_{тізбектей} = (1/2) * (V_әсер² / R)
   
   Анық, P_{параллель} = 4 * P_{тізбектей}.
   
   Жалпы орташа бөлінетін қуат параллель конфигурацияда үлкенірек болады.

   Дәлелдеу:
   Параллель конфигурацияда эквивалентті кедергі (R/2) тізбектей конфигурациядағыдан (2R) төменірек. Көзден келетін V_әсер кернеуі екі конфигурация үшін де бірдей болғандықтан және P_орт = V_әсер² / R_экв орташа қуат болғандықтан, төменірек эквивалентті кедергі жоғарырақ орташа қуат бөлінуіне әкеледі. Параллель қосылған әрбір резистордың бойында толық V_әсер кернеуі болады, бұл олардың тізбектей қосылғандағыдан (кернеу бөлінетін) жеке-жеке көбірек ток тартуына әкеледі.
   

   [/su_spoiler]

• Save My Exams (A-Level Physics CIE — Alternating Currents):
  • RMS & Peak Values: Save My Exams — RMS & Peak Values
  • Mean Power in AC: Save My Exams — Mean Power
• PhysicsAndMathsTutor (A-Level CIE — Alternating Currents): PhysicsAndMathsTutor — Alternating Currents
• Khan Academy (AC circuits — RMS and average power): Khan Academy — RMS and Average Power
• HyperPhysics (Alternating Current Power): HyperPhysics — AC Power
• YouTube — Problem Solving (Mean Power AC): Search for Mean Power AC Problem Solving Videos

Take a few moments to reflect on what you’ve learned:

• Why is it important to distinguish between peak power and mean power in AC circuits?
• How does the concept of RMS values simplify power calculations in AC circuits with resistive loads?
• Think of an everyday electrical appliance. Does its power rating refer to peak power or mean power? Why is this distinction relevant to the consumer?