• 19.2.1 Determine the electric potential energy stored in a capacitor from the area under the potential–charge graph.
• 19.2.2 Recall and use W = ¹/₂QV = ¹/₂CV².
• 19.3.1 Analyse graphs of the variation with time of potential difference, charge and current for a capacitor discharging through a resistor.
• 19.3.2 Recall and use τ = RC for the time constant for a capacitor discharging through a resistor.

• Students will be able to define and explain key terms related to capacitor energy storage and discharging in English.
• Students will be able to describe the process of energy storage in a capacitor and its discharge through a resistor using appropriate vocabulary.
• Students will be able to interpret potential-charge graphs and discharge graphs (V-t, Q-t, I-t).
• Students will be able to apply formulas for energy stored (W = ¹/₂QV, W = ¹/₂CV²) and time constant (τ = RC) to solve problems, explaining their reasoning in English.

Let’s familiarize ourselves with the key terms for this topic. Төмендегі кестеде осы тақырып бойынша негізгі терминдер берілген.

To help you memorize these terms, you can use flashcards. Check out this set on Quizlet (or create your own!):

Search for Capacitor Energy & Discharging Flashcards on Quizlet

Alternatively, create physical flashcards for active recall.

Understand the definitions of key concepts. Төменде негізгі ұғымдардың анықтамалары берілген.

• Capacitor: A device used to store electrical energy, consisting of one or more pairs of conductors separated by an insulator (dielectric).
  
  Translation (RU/KZ)

  Конденсатор: Электр энергиясын сақтауға арналған құрылғы, бір немесе бірнеше жұп өткізгіштерден тұрады, олар диэлектрикпен (оқшаулағышпен) бөлінген.
  Конденсатор: Электр энергиясын жинақтауға арналған құрылғы, бір немесе бірнеше жұп өткізгіштерден тұрады, олар диэлектрикпен (оқшаулағышпен) бөлінген.
  
• Capacitance (C): The ratio of the charge stored on a capacitor to the potential difference across it. C = Q/V. Measured in Farads (F).
  
  Translation (RU/KZ)

  Емкость (C): Отношение заряда, накопленного на конденсаторе, к разности потенциалов на нем. C = Q/V. Измеряется в Фарадах (Ф).
  Сыйымдылық (C): Конденсаторда жинақталған зарядтың оның астарларындағы потенциалдар айырымына қатынасы. C = Q/V. Фарадпен (Ф) өлшенеді.
  
• Energy Stored in a Capacitor (W or E_P): The electrical potential energy stored in a charged capacitor. It can be found from the areaаудан/площадь under a potential-charge graph. Formulas: W = ¹/₂QV = ¹/₂CV² = Q²/(2C). Measured in Joules (J).
  
  Translation (RU/KZ)

  Энергия, запасенная в конденсаторе (W или E_P): Электрическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном конденсаторе. Ее можно найти по площади под графиком потенциал-заряд. Формулы: W = ¹/₂QV = ¹/₂CV² = Q²/(2C). Измеряется в Джоулях (Дж).
  Конденсаторда сақталған энергия (W немесе E_P): Зарядталған конденсаторда сақталған электрлік потенциалдық энергия. Оны потенциал-заряд графигінің астындағы ауданнан табуға болады. Формулалар: W = ¹/₂QV = ¹/₂CV² = Q²/(2C). Джоульмен (Дж) өлшенеді.
  
• Discharging a Capacitor: The process by which a capacitor loses its stored charge, typically when connected across a resistor, allowing current to flow.
  
  Translation (RU/KZ)

  Разрядка конденсатора: Процесс, при котором конденсатор теряет накопленный заряд, обычно при подключении через резистор, что позволяет току течь.
  Конденсатордың разрядталуы: Конденсатордың жинақталған зарядын жоғалту процесі, әдетте резистор арқылы қосылғанда, ток өтуіне мүмкіндік береді.
  
• Time Constant (τ): For a capacitor discharging through a resistor, the time constant (tau) is the time taken for the charge (or potential difference, or current) to decrease to 1/e (approximately 37%) of its initial value. τ = RC. Measured in seconds (s).
  
  Translation (RU/KZ)

  Постоянная времени (τ): Для конденсатора, разряжающегося через резистор, постоянная времени (тау) — это время, за которое заряд (или разность потенциалов, или ток) уменьшается до 1/e (примерно 37%) от своего начального значения. τ = RC. Измеряется в секундах (с).
  Уақыт тұрақтысы (τ): Резистор арқылы разрядталатын конденсатор үшін уақыт тұрақтысы (тау) – зарядтың (немесе потенциалдар айырымының, немесе токтың) бастапқы мәнінің 1/e (шамамен 37%) бөлігіне дейін кемуіне кететін уақыт. τ = RC. Секундпен (с) өлшенеді.
  
• Exponential Decay: The decrease in a quantity (like charge, voltage, or current during capacitor discharge) where the rate of decrease is proportionalпропорциональна/пропорционал to its current value. This leads to a characteristic curved graph.
  
  Translation (RU/KZ)

  Экспоненциальное затухание: Уменьшение величины (например, заряда, напряжения или тока при разрядке конденсатора), при котором скорость уменьшения пропорциональна ее текущему значению. Это приводит к характерному криволинейному графику.
  Экспоненциалды кему: Шаманың (мысалы, конденсатор разрядталғандағы заряд, кернеу немесе ток) кемуі, мұнда кему жылдамдығы оның ағымдағы мәніне пропорционал. Бұл сипатты қисық сызықты графикке әкеледі.
  

Capacitors are essential components in electronic circuits for storing electrical energy. Understanding how they store energy and how they discharge is crucial.

1. Energy Stored in a Capacitor (W or E_P)

When a capacitor is charged, work is done to move charge from one plate to the other against the electric field between the plates. This work done is stored as electrical potential energy in the capacitor.

Consider charging a capacitor. As charge Q accumulates on the plates, the potential difference V across them increases. The relationship is Q = CV, so V = Q/C.
If we plot a graph of potential difference V against charge Q as the capacitor charges, we get a straight line through the origin with a gradient of 1/C.
[Image of График V-Q для конденсатора при зарядке]

The work done in adding a small amount of charge δQ when the potential difference is V is δW = VδQ.
The total work done W to charge the capacitor to a final charge Q and potential difference V is the areaаудан/площадь under the V-Q graph. Since the graph is a triangle:

W = ¹/₂ Q V

This is the electric potential energy stored in the capacitor.
Using the relationship Q = CV, we can derive two other common forms of the energy equation:
Substituting Q = CV into W = ¹/₂QV:

W = ¹/₂ (CV) V = ¹/₂ C V²

Substituting V = Q/C into W = ¹/₂QV:

W = ¹/₂ Q (Q/C) = Q² / (2C)

So, the three formulas for energy stored are:

• W = ¹/₂ Q V
• W = ¹/₂ C V²
• W = Q² / (2C)

Where W is energy in Joules (J), Q is charge in Coulombs (C), V is potential difference in Volts (V), and C is capacitance in Farads (F).

2. Discharging a Capacitor through a Resistor

When a charged capacitor is connected across a resistor R, it begins to discharge. Charge flows from one plate to the other through the resistor until the capacitor is fully discharged (Q=0, V=0).

The rate at which the capacitor discharges is not constant; it’s an exponentialэкспоненциальный/экспоненциалды decay process. This means the charge Q on the capacitor, the potential difference V across it, and the current I in the circuit all decrease exponentially with time.

The equations describing this decay are:

• Charge: Q = Q₀ e^-t/RC
• Potential Difference: V = V₀ e^-t/RC
• Current: I = I₀ e^-t/RC (where I₀ = V₀/R)

Where:

• Q₀, V₀, I₀ are the initial charge, potential difference, and current at t=0.
• e is the base of natural logarithms (≈ 2.718).
• t is time.
• R is resistance.
• C is capacitance.

Graphs of Discharge:

The graphs of Q, V, and I against time t all show an exponential decay curve:
[Image of Графики разрядки конденсатора (Q-t, V-t, I-t)]

• They start at their initial values (Q₀, V₀, I₀) at t=0.
• They decrease rapidly at first, then more slowly.
• They asymptoticallyасимптотически/асимптотикалық түрде approach zero as t approaches infinity.

3. Time Constant (τ)

The product RC is called the time constant of the circuit, denoted by the Greek letter tau (τ).

τ = RC

The time constant has units of time (seconds). It is a measure of how quickly the capacitor discharges.

• A larger time constant means a slower discharge.
• A smaller time constant means a faster discharge.

After one time constant (t = τ = RC), the charge on the capacitor (and V, and I) will have fallen to e^-1 (which is 1/e) of its initial value.
1/e ≈ 0.368 or 36.8%.
So, at t = τ:

• Q = Q₀ / e ≈ 0.37 Q₀
• V = V₀ / e ≈ 0.37 V₀
• I = I₀ / e ≈ 0.37 I₀

This means that in one time constant, the capacitor loses about 63.2% of its charge/voltage/current.
Theoretically, the capacitor never fully discharges (it only approaches zero charge), but for practical purposes, it is often considered fully discharged after about 5 time constants (5τ), when the charge has fallen to less than 1% of its initial value (e^-5 ≈ 0.0067).

Check Your Understanding / Өзіңді тексер:

1. Easy: How is the energy stored in a capacitor related to the area under a V-Q graph?
   
   Answer / Жауабы

   The energy stored in a capacitor is equal to the area under the potential difference (V) versus charge (Q) graph. Since V is proportional to Q (V=Q/C), this graph is a straight line through the origin, and the area is that of a triangle (¹/₂ * base * height = ¹/₂ * Q * V).
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Конденсаторда сақталған энергия потенциалдар айырымы (V) мен заряд (Q) графигінің астындағы ауданға тең. V Q-ға пропорционал болғандықтан (V=Q/C), бұл график координаттар басы арқылы өтетін түзу сызық болып табылады, ал аудан үшбұрыштың ауданына тең (¹/₂ * негіз * биіктік = ¹/₂ * Q * V).
   
   [/su_spoiler]
2. Medium: A 100 µF capacitor is charged to a potential difference of 50 V. Calculate the energy stored.
   
   Answer / Жауабы

   Given: C = 100 µF = 100 x 10^-6 F, V = 50 V.
   Formula: W = ¹/₂CV²
   W = ¹/₂ * (100 x 10^-6 F) * (50 V)²
   W = ¹/₂ * (100 x 10^-6) * 2500
   W = 0.5 * 0.0001 * 2500
   W = 0.125 J.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Берілгені: C = 100 мкФ = 100 x 10^-6 Ф, V = 50 В.
   Формула: W = ¹/₂CV²
   W = ¹/₂ * (100 x 10^-6 Ф) * (50 В)²
   W = ¹/₂ * (100 x 10^-6) * 2500
   W = 0.5 * 0.0001 * 2500
   W = 0.125 Дж.
   
   [/su_spoiler]
3. Medium: A capacitor of capacitance C is discharging through a resistor R. After how many time constants will the charge on the capacitor fall to approximately 5% of its initial value? (Hint: e^-3 ≈ 0.05)
   
   Answer / Жауабы

   We want Q = 0.05 Q₀.
   We know Q = Q₀ e^-t/τ.
   So, 0.05 Q₀ = Q₀ e^-t/τ
   0.05 = e^-t/τ
   Since e^-3 ≈ 0.05, we can say that -t/τ ≈ -3.
   Therefore, t/τ ≈ 3, which means t ≈ 3τ.
   The charge will fall to approximately 5% of its initial value after about 3 time constants.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Біз Q = 0.05 Q₀ болғанын қалаймыз.
   Біз Q = Q₀ e^-t/τ екенін білеміз.
   Сонымен, 0.05 Q₀ = Q₀ e^-t/τ
   0.05 = e^-t/τ
   e^-3 ≈ 0.05 болғандықтан, -t/τ ≈ -3 деп айта аламыз.
   Сондықтан, t/τ ≈ 3, бұл t ≈ 3τ дегенді білдіреді.
   Заряд бастапқы мәнінің шамамен 5%-ына дейін шамамен 3 уақыт тұрақтысынан кейін кемиді.
   
   [/su_spoiler]
4. Hard (Critical Thinking): During the discharge of a capacitor through a resistor, the current decreases exponentially. Since power dissipated in the resistor is P = I²R, does the total energy dissipated in the resistor equal the initial energy stored in the capacitor? Explain your reasoning qualitatively, without performing the full integration.
   
   Answer / Жауабы

   Yes, the total energy dissipated in the resistor during the complete discharge of a capacitor equals the initial energy stored in the capacitor.
   Reasoning:
   1. The energy stored in the capacitor is the source of energy for the circuit during discharge.
   2. As the capacitor discharges, current flows through the resistor. This current causes energy to be dissipated as heat in the resistor (P = I²R).
   3. The discharging process continues until all the stored charge is gone, and the potential difference across the capacitor (and resistor) becomes zero. At this point, no more current flows, and no more energy can be dissipated.
   4. By the principle of conservation of energy, the total electrical potential energy initially stored in the capacitor must be fully converted into other forms of energy. In this simple RC circuit, the only component dissipating energy is the resistor (as heat).
   5. Although the current (and thus the instantaneous power) changes exponentially over time, the sum (integral) of all the infinitesimally small amounts of energy dissipated (Pδt) over the entire discharge period must equal the total energy that was initially available from the capacitor.
   Therefore, all the energy initially stored in the capacitor (e.g., ¹/₂CV₀²) is eventually dissipated as heat in the resistor as the capacitor discharges to zero.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Иә, конденсатордың толық разрядталуы кезінде резисторда бөлінетін жалпы энергия конденсаторда бастапқыда сақталған энергияға тең.
   Дәлелдеу:
   1. Конденсаторда сақталған энергия разрядталу кезінде тізбек үшін энергия көзі болып табылады.
   2. Конденсатор разрядталғанда, резистор арқылы ток ағады. Бұл ток резисторда жылу ретінде энергияның бөлінуіне әкеледі (P = I²R).
   3. Разрядталу процесі барлық сақталған заряд кеткенше және конденсатор (және резистор) арасындағы потенциалдар айырымы нөлге тең болғанша жалғасады. Осы кезде ток ақпайды және энергия бөлінбейді.
   4. Энергияның сақталу заңы бойынша, конденсаторда бастапқыда сақталған жалпы электрлік потенциалдық энергия толығымен басқа энергия түрлеріне айналуы керек. Бұл қарапайым RC тізбегінде энергияны тарататын жалғыз компонент – резистор (жылу ретінде).
   5. Ток (және сәйкесінше лездік қуат) уақыт өте келе экспоненциалды түрде өзгерсе де, бүкіл разрядталу кезеңінде бөлінген барлық шексіз аз мөлшердегі энергияның (Pδt) қосындысы (интегралы) конденсатордан бастапқыда қол жетімді болған жалпы энергияға тең болуы керек.
   Сондықтан, конденсаторда бастапқыда сақталған барлық энергия (мысалы, ¹/₂CV₀²) конденсатор нөлге дейін разрядталғанда резисторда жылу ретінде толығымен бөлінеді.
   
   [/su_spoiler]

Activity 1: Fill in the Blanks

1. The energy stored in a capacitor can be found from the area under the _________ vs _________ graph.
2. Three formulas for energy stored in a capacitor are W = ¹/₂QV, W = _________, and W = _________.
3. During capacitor discharge through a resistor, the charge decreases _________ with time.
4. The time constant (τ) for an RC circuit is given by the product _________.
5. After one time constant, the charge on a discharging capacitor drops to approximately _________% of its initial value.

Activity 2: Match the Graph Shape

Match the quantity during capacitor discharge (through a resistor) with the general shape of its graph against time (t):

Watch this video for a visual explanation of energy stored in capacitors and their discharge:

This video explains how energy is stored and the formulas involved, plus an introduction to discharging.

Further viewing:

• Capacitor Discharge Explained (Exponential Decay)
• RC Circuit Time Constant Explained

Problem 1: A 470 µF capacitor is charged by a 12 V supply.

a) Calculate the charge stored on the capacitor.

b) Calculate the energy stored in the capacitor.
[Image of Простая схема зарядки конденсатора]

Problem 2: A 2200 µF capacitor is charged to 9.0 V and then discharged through a 1.5 kΩ resistor.

a) Calculate the initial charge on the capacitor.

b) Calculate the time constant for the circuit.

c) Calculate the charge remaining on the capacitor after 5.0 s.
[Image of Схема разрядки конденсатора через резистор]

Explore capacitor behavior using the PhET «Capacitor Lab: Basics» simulation.

Simulation Link: Capacitor Lab: Basics Simulation

You can also embed it using this code (may require your WordPress theme/plugins to support iframes):

Tasks:

1. In the «Introduction» tab, connect a battery to a capacitor. Observe how the charge and stored energy change as you vary the battery voltage. How does the capacitance affect the stored charge and energy for a given voltage?
2. Use the «Light Bulb» tab. Charge the capacitor fully with the battery. Then, disconnect the battery and connect the capacitor to the light bulb. Observe what happens to the bulb’s brightness and the capacitor’s charge over time.
3. Relate your observations in task 2 to the concept of exponential decay and the time constant (though the simulation doesn’t explicitly show τ or allow setting R). How would changing the bulb’s resistance (if possible) or the capacitance affect how long the bulb stays lit?

Task: RC Circuit Analysis with GoConqr or Quizizz

In pairs or small groups:

1. Imagine a capacitor C = 500 µF discharging through a resistor R = 10 kΩ. The capacitor is initially charged to V₀ = 6V.
2. Calculate the time constant (τ) for this circuit.
3. Calculate the charge Q, potential difference V, and current I at t = τ.
4. Calculate Q, V, and I at t = 2τ.
5. Sketch the approximate graphs of Q vs t, V vs t, and I vs t for this discharge, marking the values at t=0, t=τ, and t=2τ.
6. Using a tool like GoConqr (e.g., create a mind map or flashcards explaining the process) or Quizizz (create 3-4 questions about your calculations and graph shapes), prepare to share your findings.

Answer the following questions. Show all your working where calculations are required. Use k = 8.99 x 10⁹ N m² C^-2 or 1/(4πε₀) where ε₀ = 8.85 x 10^-12 F m^-1, and e ≈ 2.718.

1. Analysis/Application: A 25 µF capacitor stores 0.045 J of energy.
   
   a) Calculate the potential difference across the capacitor.
   
   b) Calculate the charge stored on the capacitor.
   
   Answer / Жауабы

   a) Given W = 0.045 J, C = 25 µF = 25 x 10^-6 F. Use W = ¹/₂CV².
   
   V² = 2W/C = (2 * 0.045 J) / (25 x 10^-6 F) = 0.09 / (25 x 10^-6) = 3600 V².
   
   V = √3600 = 60 V.
   
   b) Q = CV = (25 x 10^-6 F) * (60 V) = 1500 x 10^-6 C = 1.5 x 10^-3 C = 1.5 mC.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) Берілгені W = 0.045 Дж, C = 25 мкФ = 25 x 10^-6 Ф. W = ¹/₂CV² формуласын қолданыңыз.
   
   V² = 2W/C = (2 * 0.045 Дж) / (25 x 10^-6 Ф) = 0.09 / (25 x 10^-6) = 3600 В².
   
   V = √3600 = 60 В.
   
   b) Q = CV = (25 x 10^-6 Ф) * (60 В) = 1500 x 10^-6 Кл = 1.5 x 10^-3 Кл = 1.5 мКл.
   
   [/su_spoiler]
2. Analysis/Synthesis: A capacitor is charged to a potential V₀ and stores energy W₀. If the charge on the capacitor is then doubled (by connecting to a different supply), what is the new energy stored in terms of W₀, assuming the capacitance C remains constant?
   
   Answer / Жауабы

   Initial energy W₀ = Q₀² / (2C).
   If charge is doubled, new charge Q_new = 2Q₀.
   New energy W_new = (Q_new)² / (2C) = (2Q₀)² / (2C) = 4Q₀² / (2C) = 4 * (Q₀² / (2C)).
   So, W_new = 4W₀. The energy stored increases by a factor of 4.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Бастапқы энергия W₀ = Q₀² / (2C).
   Егер заряд екі еселенсе, жаңа заряд Q_жаңа = 2Q₀.
   Жаңа энергия W_жаңа = (Q_жаңа)² / (2C) = (2Q₀)² / (2C) = 4Q₀² / (2C) = 4 * (Q₀² / (2C)).
   Сонымен, W_жаңа = 4W₀. Сақталған энергия 4 есе артады.
   
   [/su_spoiler]
3. Synthesis/Application: A 10 µF capacitor is charged to 20 V and then allowed to discharge through a 5 kΩ resistor.
   
   a) What is the initial current when the discharge begins?
   
   b) What is the time constant of the circuit?
   
   c) What is the current in the circuit after one time constant?
   
   d) What is the potential difference across the capacitor after 100 ms?
   
   Answer / Жауабы

   a) V₀ = 20 V, R = 5 kΩ = 5000 Ω. Initial current I₀ = V₀/R = 20 V / 5000 Ω = 0.004 A = 4 mA.
   
   b) C = 10 µF = 10 x 10^-6 F. τ = RC = (5000 Ω) * (10 x 10^-6 F) = 0.05 s = 50 ms.
   
   c) After one time constant (t=τ), I = I₀/e ≈ 0.37 * I₀ = 0.37 * 4 mA ≈ 1.48 mA.
   
   d) t = 100 ms = 0.1 s. t/τ = 0.1 s / 0.05 s = 2.
   
   V = V₀ e^-t/τ = (20 V) * e^-2 ≈ 20 V * 0.1353 ≈ 2.706 V.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) V₀ = 20 В, R = 5 кОм = 5000 Ом. Бастапқы ток I₀ = V₀/R = 20 В / 5000 Ом = 0.004 А = 4 мА.
   
   b) C = 10 мкФ = 10 x 10^-6 Ф. τ = RC = (5000 Ом) * (10 x 10^-6 Ф) = 0.05 с = 50 мс.
   
   c) Бір уақыт тұрақтысынан кейін (t=τ), I = I₀/e ≈ 0.37 * I₀ = 0.37 * 4 мА ≈ 1.48 мА.
   
   d) t = 100 мс = 0.1 с. t/τ = 0.1 с / 0.05 с = 2.
   
   V = V₀ e^-t/τ = (20 В) * e^-2 ≈ 20 В * 0.1353 ≈ 2.706 В.
   
   [/su_spoiler]
4. Analysis/Evaluation: The graph below shows how the charge Q on a capacitor varies with potential difference V as it is charged.
   [Image of Линейный график Q-V для конденсатора, проходящий через начало координат]
   a) How can the capacitance be determined from this graph?
   
   b) How can the energy stored when the capacitor is charged to a potential V₁ (corresponding to charge Q₁) be determined from this graph? Explain your method.
   
   Answer / Жауабы

   a) Capacitance C = Q/V. From the graph, the capacitance is the reciprocal of the gradient (if V is on y-axis and Q on x-axis) or the gradient itself (if Q is on y-axis and V on x-axis). Assuming Q is on the y-axis and V on the x-axis, C = gradient of the Q-V graph. If V is on y-axis and Q on x-axis, C = 1 / gradient.
   
   b) The energy stored is the area under the V-Q graph (or Q-V graph). If charged to V₁ and Q₁, the area forms a triangle with base Q₁ and height V₁ (or vice versa depending on axes). Energy W = ¹/₂ * Q₁ * V₁. This area represents the work done to charge the capacitor.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) Сыйымдылық C = Q/V. Графиктен сыйымдылық градиенттің кері шамасы (егер V y осінде, ал Q x осінде болса) немесе градиенттің өзі (егер Q y осінде, ал V x осінде болса) болып табылады. Егер Q y осінде, ал V x осінде болса, C = Q-V графигінің градиенті. Егер V y осінде, ал Q x осінде болса, C = 1 / градиент.
   
   b) Сақталған энергия V-Q графигінің (немесе Q-V графигінің) астындағы аудан болып табылады. Егер V₁ потенциалына (Q₁ зарядына сәйкес) дейін зарядталса, аудан негізі Q₁ және биіктігі V₁ (немесе осьтерге байланысты керісінше) болатын үшбұрышты құрайды. Энергия W = ¹/₂ * Q₁ * V₁. Бұл аудан конденсаторды зарядтау үшін атқарылған жұмысты білдіреді.
   
   [/su_spoiler]
5. Critical Thinking/Design: You are given a capacitor of unknown capacitance, a variable resistor, a DC power supply of known voltage, a voltmeter, an ammeter, and a stopwatch. Describe an experiment you could perform to determine the time constant of the RC circuit and hence estimate the capacitance of the capacitor. Include the measurements you would take and how you would analyze them.
   
   Answer / Жауабы

   Experiment to determine τ and C:
   
   1. Setup: Connect the DC power supply, capacitor, resistor (set to a known value R), and a switch in series to charge the capacitor. Connect the voltmeter in parallel across the capacitor.
   
   2. Charging: Close the switch to charge the capacitor fully. The voltmeter reading should rise to the power supply voltage (V₀).
   
   3. Discharging Setup: Quickly reconfigure the circuit (or use a 2-way switch) so that the charged capacitor is now in series with the resistor and the ammeter (or keep voltmeter across capacitor). The power supply should be disconnected.
   
   4. Data Collection (Method 1 — Voltage Decay):
   
   a. As soon as the capacitor starts discharging through R, start the stopwatch.
   
   b. Record the voltmeter reading (V) across the capacitor at regular time intervals (e.g., every 5 seconds, depending on expected τ). Continue until V is very small.
   
   5. Data Collection (Method 2 — Initial Current & Time to fall): (Alternative if ammeter is sensitive enough)
   
   a. Note the initial current I₀ the moment discharge begins.
   
   b. Measure the time ‘t’ it takes for the current to fall to I₀/e (approx 0.37 I₀). This time ‘t’ is the time constant τ.
   
   6. Analysis (Method 1):
   
   a. Plot a graph of V against t. It should be an exponential decay curve.
   
   b. Determine the time constant τ. This can be done by:
   
   i. Finding the time it takes for V to drop to V₀/e (≈ 0.37 V₀). This time is τ.
   
   ii. Plotting ln(V) against t. The equation is V = V₀e^-t/τ, so ln(V) = ln(V₀) — t/τ. This is a straight line graph with gradient -1/τ. So, τ = -1/gradient.
   
   7. Calculating Capacitance: Once τ is determined and R is known, calculate C using C = τ/R.
   
   Precautions: Ensure correct polarity if using electrolytic capacitors. Take multiple readings and average for better accuracy. Choose R and C values that give a measurable time constant (not too fast, not too slow).
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   τ және C анықтау эксперименті:
   
   1. Орнату: Тұрақты ток көзін, конденсаторды, резисторды (белгілі R мәніне орнатылған) және конденсаторды зарядтау үшін ажыратқышты тізбектей қосыңыз. Вольтметрді конденсаторға параллель қосыңыз.
   
   2. Зарядтау: Конденсаторды толық зарядтау үшін ажыратқышты тұйықтаңыз. Вольтметр көрсеткіші ток көзінің кернеуіне (V₀) дейін көтерілуі керек.
   
   3. Разрядтауды орнату: Тізбекті тез қайта конфигурациялаңыз (немесе 2 бағытты ажыратқышты пайдаланыңыз) зарядталған конденсатор енді резистормен және амперметрмен тізбектей болатындай етіп (немесе вольтметрді конденсаторда қалдырыңыз). Ток көзі ажыратылуы керек.
   
   4. Деректерді жинау (1-әдіс - Кернеудің кемуі):
   
   a. Конденсатор R арқылы разрядтала бастағанда, секундомерді іске қосыңыз.
   
   b. Белгілі бір уақыт аралықтарында (мысалы, күтілетін τ-ға байланысты әрбір 5 секунд сайын) конденсатордағы вольтметр көрсеткішін (V) жазып алыңыз. V өте аз болғанша жалғастырыңыз.
   
   5. Деректерді жинау (2-әдіс - Бастапқы ток және кему уақыты): (Егер амперметр жеткілікті сезімтал болса, баламалы әдіс)
   
   a. Разрядтау басталған сәттегі бастапқы I₀ тогын белгілеңіз.
   
   b. Токтың I₀/e (шамамен 0.37 I₀) дейін кемуіне кететін 't' уақытын өлшеңіз. Бұл 't' уақыты – τ уақыт тұрақтысы.
   
   6. Талдау (1-әдіс):
   
   a. V-ның t-ға тәуелділік графигін сызыңыз. Ол экспоненциалды кему қисығы болуы керек.
   
   b. τ уақыт тұрақтысын анықтаңыз. Мұны былай жасауға болады:
   
   i. V-ның V₀/e (≈ 0.37 V₀) дейін кемуіне кететін уақытты табу. Бұл уақыт – τ.
   
   ii. ln(V)-ның t-ға тәуелділік графигін сызу. Теңдеу V = V₀e^-t/τ, сондықтан ln(V) = ln(V₀) - t/τ. Бұл градиенті -1/τ болатын түзу сызықты график. Сонымен, τ = -1/градиент.
   
   7. Сыйымдылықты есептеу: τ анықталғаннан және R белгілі болғаннан кейін, C = τ/R формуласын пайдаланып C-ны есептеңіз.
   
   Сақтық шаралары: Егер электролиттік конденсаторларды пайдалансаңыз, дұрыс полярлықты қамтамасыз етіңіз. Дәлірек болу үшін бірнеше рет оқып, орташасын алыңыз. Өлшенетін уақыт тұрақтысын беретін R және C мәндерін таңдаңыз (тым тез емес, тым баяу емес).
   
   [/su_spoiler]

• Save My Exams (A-Level Physics CIE — Capacitors):
  • Energy Stored: Save My Exams — Energy Stored
  • Discharging: Save My Exams — Capacitor Discharge
• PhysicsAndMathsTutor (A-Level CIE — Capacitance): PhysicsAndMathsTutor — Capacitance (Covers energy and discharging)
• Khan Academy:
  • Energy of a capacitor: Khan Academy — Energy of a Capacitor
  • RC circuit analysis: Khan Academy — RC Circuits
• YouTube — Problem Solving (Capacitor Energy & Discharge): Search for Capacitor Problem Solving Videos
• HyperPhysics (Capacitors): HyperPhysics — Capacitors

Take a few moments to reflect on what you’ve learned:

• How does the area under a potential-charge graph allow you to determine the energy stored in a capacitor?
• Explain the physical meaning of the time constant (τ = RC) in the context of a capacitor discharging. What factors affect how quickly a capacitor discharges?
• Describe a real-world application where the controlled discharge of a capacitor is important.