• 18.5.4 Understand how the concept of electric potential leads to the electric potential energy of two point charges and use E_P = Qq/(4πε₀r).

• Students will be able to define and explain key terms related to electric potential and electric potential energy in English.
• Students will be able to discuss the relationship between electric potential and electric potential energy using appropriate vocabulary.
• Students will be able to apply the formula E_P = Qq/(4πε₀r) to solve problems, explaining their reasoning in English.

Let’s familiarize ourselves with the key terms for this topic. Төмендегі кестеде осы тақырып бойынша негізгі терминдер берілген.

To help you memorize these terms, you can use flashcards. Check out this set on Quizlet (or create your own!):

Search for Electric Potential Energy Flashcards on Quizlet

Alternatively, create physical flashcards for active recall.

Understand the definitions of key concepts. Төменде негізгі ұғымдардың анықтамалары берілген.

• Electric Potential (V): The work done per unit positive charge in bringing a small test charge from infinity to a point in an electric field. It is a scalar quantity, measured in Volts (V), where 1 Volt = 1 Joule per Coulomb (J C^-1). Formula for potential due to a point charge Q: V = Q / (4πε₀r).
  
  Перевод (RU)

  Электрический потенциал (V): Работа, совершаемая на единичный положительный заряд при перемещении малого пробного заряда из бесконечности в данную точку электрического поля. Это скалярная величина, измеряемая в Вольтах (В), где 1 Вольт = 1 Джоуль на Кулон (Дж/Кл). Формула потенциала, создаваемого точечным зарядом Q: V = Q / (4πε₀r).
  Аудармасы (KZ)

  Электрлік потенциал (V): Шағын сынақ зарядын шексіздіктен электр өрісінің белгілі бір нүктесіне жеткізу үшін бірлік оң зарядқа жұмсалған жұмыс. Бұл скалярлық шама, Вольтпен (В) өлшенеді, мұнда 1 Вольт = 1 Джоуль/Кулон (Дж Кл^-1). Нүктелік Q заряд тудыратын потенциалдың формуласы: V = Q / (4πε₀r).
• Electric Potential Energy (E_P or U): The energy a charge has due to its position in an electric field. For two point charges Q and q separated by a distance r, the electric potential energy is the work done to bring charge q from infinity to that point in the field of Q. Formula: E_P = Qq / (4πε₀r). It is a scalar quantity, measured in Joules (J).
  
  Перевод (RU)

  Электрическая потенциальная энергия (E_P или U): Энергия, которой обладает заряд из-за своего положения в электрическом поле. Для двух точечных зарядов Q и q, разделенных расстоянием r, электрическая потенциальная энергия — это работа, совершенная для перемещения заряда q из бесконечности в эту точку в поле заряда Q. Формула: E_P = Qq / (4πε₀r). Это скалярная величина, измеряемая в Джоулях (Дж).
  Аудармасы (KZ)

  Электрлік потенциалдық энергия (E_P немесе U): Зарядтың электр өрісіндегі орнына байланысты ие болатын энергиясы. r қашықтықпен бөлінген екі нүктелік Q және q зарядтары үшін электрлік потенциалдық энергия – q зарядын шексіздіктен Q өрісіндегі сол нүктеге жеткізу үшін атқарылған жұмыс. Формуласы: E_P = Qq / (4πε₀r). Бұл скалярлық шама, Джоульмен (Дж) өлшенеді.
• Work Done (in an electric field): When a charge q is moved through a potential difference ΔV, the work done W on the charge is given by W = qΔV. This work done changes the electric potential energy of the charge.
  
  Перевод (RU)

  Совершенная работа (в электрическом поле): Когда заряд q перемещается через разность потенциалов ΔV, работа W, совершенная над зарядом, дается формулой W = qΔV. Эта совершенная работа изменяет электрическую потенциальную энергию заряда.
  Аудармасы (KZ)

  Атқарылған жұмыс (электр өрісінде): q заряды ΔV потенциалдар айырымы арқылы қозғалғанда, зарядқа атқарылған W жұмыс W = qΔV формуласымен беріледі. Бұл атқарылған жұмыс зарядтың электрлік потенциалдық энергиясын өзгертеді.

Previously, we discussed electric fields and forces. Now, we’ll explore the concepts of electric potential and electric potential energy, which are related to the work done when moving charges in an electric field.

1. Electric Potential (V)

Electric potential at a point in an electric field is defined as the work done per unit positive charge in bringing a small positive test charge from infinity (where potential is defined as zero) to that point.

V = W / q

Where:

• V is the electric potential in Volts (V).
• W is the work done in Joules (J).
• q is the charge in Coulombs (C).

1 Volt = 1 Joule per Coulomb (1 V = 1 J C^-1). Electric potential is a scalar quantity.

For a point charge Q, the electric potential V at a distance r from the charge is given by:

V = Q / (4πε₀r) or V = kQ / r

Where:

• Q is the source charge creating the potential.
• ε₀ is the permittivity of free space (8.85 x 10^-12 F m^-1).
• r is the distance from the source charge.
• k is Coulomb’s constant (≈ 8.99 x 10⁹ N m² C^-2).

The potential is positive if Q is positive and negative if Q is negative.

2. Electric Potential Energy (E_P)

Electric potential energy is the energy a charge possesses by virtueв силу, по причине of its position in an electric field. When a charge q is at a point where the electric potential is V, its electric potential energy E_P is:

E_P = qV

Now, consider two point charges, Q (source charge) and q (test charge), separated by a distance r. The potential V at distance r due to Q is V = Q / (4πε₀r).
Therefore, the electric potential energy E_P of the charge q placed at this point (i.e., the electric potential energy of the system of two charges) is:

E_P = q * [Q / (4πε₀r)]

E_P = Qq / (4πε₀r) or E_P = kQq / r

This formula gives the electric potential energy of two point charges Q and q separated by a distance r.

• If Q and q have the same sign (both positive or both negative), E_P is positive. This means work must be done to bring like charges together (they repel).
• If Q and q have opposite signs, E_P is negative. This means energy is released when opposite charges are brought together (they attract), or work must be done to separate them.

The zero of potential energy is typically taken when the charges are infinitely far apart (r = ∞).

Relationship between Electric Potential and Electric Field Strength

For a uniform electric field, the electric field strength E is related to the potential difference ΔV (or V) between two points separated by a distance d (along the field lines) by:

E = -ΔV / Δx or more simply E = V / d (for magnitude in a uniform field)

The negative sign indicates that the electric field points in the direction of decreasing potential. Electric potential is a scalar, while electric field is a vector.

Check Your Understanding / Өзіңді тексер:

1. Easy: What is the difference between electric potential and electric potential energy?
   
   Answer / Жауабы

   Electric potential (V) is the work done per unit charge to move a charge from infinity to a point in an electric field (V = W/q). It’s a property of a point in space.
   Electric potential energy (E_P) is the energy a specific charge has due to its position in an electric field (E_P = qV). It’s a property of a charge (or system of charges).
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Электрлік потенциал (V) – зарядты шексіздіктен электр өрісінің бір нүктесіне жылжыту үшін бірлік зарядқа атқарылған жұмыс (V = W/q). Бұл кеңістіктегі нүктенің қасиеті.
   Электрлік потенциалдық энергия (E_P) – белгілі бір зарядтың электр өрісіндегі орнына байланысты ие болатын энергиясы (E_P = qV). Бұл зарядтың (немесе зарядтар жүйесінің) қасиеті.
   
   [/su_spoiler]
2. Medium: Calculate the electric potential energy of two point charges, +2.0 nC and -3.0 nC, separated by a distance of 0.050 m in a vacuum. (k ≈ 8.99 x 10⁹ N m² C^-2)
   
   Answer / Жауабы

   Given: Q = +2.0 nC = +2.0 x 10^-9 C, q = -3.0 nC = -3.0 x 10^-9 C, r = 0.050 m.
   Formula: E_P = kQq / r
   E_P = (8.99 x 10⁹ N m² C^-2) * (+2.0 x 10^-9 C) * (-3.0 x 10^-9 C) / (0.050 m)
   E_P = (8.99 x 10⁹) * (-6.0 x 10^-18) / 0.050 J
   E_P = -53.94 x 10^-9 / 0.050 J
   E_P = -1078.8 x 10^-9 J
   E_P ≈ -1.08 x 10^-6 J or -1.08 µJ.
   The negative sign indicates that the charges attract, and work would need to be done to separate them.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Берілгені: Q = +2.0 нКл = +2.0 x 10^-9 Кл, q = -3.0 нКл = -3.0 x 10^-9 Кл, r = 0.050 м. (k ≈ 8.99 x 10⁹ Н м² Кл^-2)
   Формула: E_P = kQq / r
   E_P = (8.99 x 10⁹ Н м² Кл^-2) * (+2.0 x 10^-9 Кл) * (-3.0 x 10^-9 Кл) / (0.050 м)
   E_P = (8.99 x 10⁹) * (-6.0 x 10^-18) / 0.050 Дж
   E_P = -53.94 x 10^-9 / 0.050 Дж
   E_P = -1078.8 x 10^-9 Дж
   E_P ≈ -1.08 x 10^-6 Дж немесе -1.08 мкДж.
   Теріс таңба зарядтардың тартылатынын және оларды ажырату үшін жұмыс жасау керектігін білдіреді.
   
   [/su_spoiler]
3. Medium: If the electric potential at a point is +50 V, how much work is done to bring a charge of +2 µC from infinity to this point?
   
   Answer / Жауабы

   Given: V = +50 V, q = +2 µC = +2 x 10^-6 C.
   Formula: V = W/q => W = qV
   W = (+2 x 10^-6 C) * (+50 V)
   W = 100 x 10^-6 J = 1.0 x 10^-4 J.
   Work done is 1.0 x 10^-4 J.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Берілгені: V = +50 В, q = +2 мкКл = +2 x 10^-6 Кл.
   Формула: V = W/q => W = qV
   W = (+2 x 10^-6 Кл) * (+50 В)
   W = 100 x 10^-6 Дж = 1.0 x 10^-4 Дж.
   Атқарылған жұмыс 1.0 x 10^-4 Дж.
   
   [/su_spoiler]
4. Hard (Critical Thinking): Three identical positive point charges (+Q) are placed at the vertices of an equilateral triangle of side length ‘a’. What is the total electric potential energy of this system of charges? Explain how you arrive at your answer.
   
   Answer / Жауабы

   To find the total electric potential energy of the system, we need to sum the potential energy of each pair of charges. There are three pairs: (Q1, Q2), (Q1, Q3), and (Q2, Q3).
   Let Q1, Q2, Q3 be the charges, each equal to +Q. The distance between any two charges is ‘a’.
   The potential energy of one pair (e.g., Q1 and Q2) is E_P12 = kQ₁Q₂ / a = kQ² / a.
   Since all charges are identical and all distances between pairs are ‘a’, the potential energy for each pair is the same:
   E_P12 = kQ² / a
   E_P13 = kQ² / a
   E_P23 = kQ² / a
   The total electric potential energy of the system is the sum of these individual pair energies:
   E_P,total = E_P12 + E_P13 + E_P23
   E_P,total = (kQ² / a) + (kQ² / a) + (kQ² / a)
   E_P,total = 3 * (kQ² / a)
   This is because we consider the work done to assemble the system:
   1. Bring the first charge Q1: No work done (W1 = 0) as no field is present.
   2. Bring the second charge Q2: Work done W2 = Q2 * V1 (potential due to Q1 at distance ‘a’) = Q * (kQ/a) = kQ²/a.
   3. Bring the third charge Q3: Work done W3 = Q3 * (V1 + V2) (potential due to Q1 and Q2 at distance ‘a’) = Q * (kQ/a + kQ/a) = Q * (2kQ/a) = 2kQ²/a.
   Total work done = W1 + W2 + W3 = 0 + kQ²/a + 2kQ²/a = 3kQ²/a. This total work done is stored as the electric potential energy of the system.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Жүйенің жалпы электрлік потенциалдық энергиясын табу үшін әрбір заряд жұбының потенциалдық энергиясын қосуымыз керек. Үш жұп бар: (Q1, Q2), (Q1, Q3) және (Q2, Q3).
   Q1, Q2, Q3 зарядтарының әрқайсысы +Q-ға тең болсын. Кез келген екі заряд арасындағы қашықтық 'a'.
   Бір жұптың (мысалы, Q1 және Q2) потенциалдық энергиясы E_P12 = kQ₁Q₂ / a = kQ² / a.
   Барлық зарядтар бірдей және жұптар арасындағы барлық қашықтықтар 'a' болғандықтан, әрбір жұп үшін потенциалдық энергия бірдей болады:
   E_P12 = kQ² / a
   E_P13 = kQ² / a
   E_P23 = kQ² / a
   Жүйенің жалпы электрлік потенциалдық энергиясы осы жеке жұп энергияларының қосындысы болып табылады:
   E_P,total = E_P12 + E_P13 + E_P23
   E_P,total = (kQ² / a) + (kQ² / a) + (kQ² / a)
   E_P,total = 3 * (kQ² / a)
   Бұл жүйені жинау үшін атқарылған жұмысты қарастырғандықтан:
   1. Бірінші Q1 зарядын әкелу: Ешқандай жұмыс атқарылмайды (W1 = 0), себебі өріс жоқ.
   2. Екінші Q2 зарядын әкелу: Атқарылған жұмыс W2 = Q2 * V1 ('a' қашықтықтағы Q1 тудырған потенциал) = Q * (kQ/a) = kQ²/a.
   3. Үшінші Q3 зарядын әкелу: Атқарылған жұмыс W3 = Q3 * (V1 + V2) ('a' қашықтықтағы Q1 және Q2 тудырған потенциал) = Q * (kQ/a + kQ/a) = Q * (2kQ/a) = 2kQ²/a.
   Жалпы атқарылған жұмыс = W1 + W2 + W3 = 0 + kQ²/a + 2kQ²/a = 3kQ²/a. Бұл жалпы атқарылған жұмыс жүйенің электрлік потенциалдық энергиясы ретінде сақталады.
   
   [/su_spoiler]

Activity 1: Fill in the Blanks

1. Electric potential is the _________ per unit positive charge to move a charge from infinity to a point.
2. The unit of electric potential is the _________, and the unit of electric potential energy is the _________.
3. The formula for electric potential energy between two point charges Q and q separated by distance r is E_P = _________.
4. If two positive charges are brought closer together, their electric potential energy _________.
5. If a positive and a negative charge are moved further apart, their electric potential energy becomes _________ (less negative/more positive).

Activity 2: True or False?

1. Electric potential energy is a vector quantity.
2. If the electric potential at a point is zero, the electric field strength at that point must also be zero.
3. The electric potential energy of two unlike charges is always negative.
4. Work must be done to move a positive charge from a region of low potential to a region of high potential.

Watch this video for a visual explanation of electric potential and potential energy:

This video explains the concepts of electric potential and electric potential energy, and how they relate to work done.

Problem 1: Two point charges, Q₁ = +4.0 nC and Q₂ = -6.0 nC, are separated by 0.20 m. Calculate the electric potential energy of this pair of charges. (ε₀ = 8.85 x 10^-12 F m^-1)

Problem 2: An alpha particle (charge +2e, where e = 1.60 x 10^-19 C) is moved from a point where the electric potential is +500 V to a point where the potential is +100 V. Calculate the work done on the alpha particle by the electric field.

Revisit the PhET «Charges and Fields» simulation, this time focusing on potential.

Simulation Link: Charges and Fields Simulation

Tasks:

1. Place a single positive charge. Use the «Voltage» sensor (voltmeter tool). How does the electric potential change as you move the sensor radially away from the charge? How does it change if you move circumferentially (in a circle around the charge)?
2. What are equipotential lines? Observe them for a single positive charge and for a dipole (one positive, one negative charge). How are equipotential lines related to electric field lines?
3. Place two large parallel lines of opposite charges to create a uniform field. Use the voltage sensor to measure the potential at different points between the plates. How does potential change as you move from the positive plate to the negative plate? What can you say about equipotential lines in this uniform field?

Task: Potential Energy Scenarios

In pairs or small groups:

1. Consider a system of three point charges: q₁ = +Q, q₂ = -Q, and q₃ = +2Q, placed at the vertices of an equilateral triangle with side length ‘s’.
2. Calculate the total electric potential energy of this system. Show your steps clearly. Remember to sum the potential energy for each unique pair of charges.
3. Discuss: If q₃ were to be moved very far away (to infinity), would work be done by the electric field or against the electric field? Would the potential energy of the remaining q₁-q₂ system increase or decrease? Explain your reasoning.
4. Prepare a brief presentation of your calculations and discussion points.

Answer the following questions. Show all your working where calculations are required. Use k = 8.99 x 10⁹ N m² C^-2 or 1/(4πε₀) where ε₀ = 8.85 x 10^-12 F m^-1.

1. Analysis: A proton (charge +1.6 x 10^-19 C) is released from rest at a point where the electric potential is +120 V. It moves to a point where the potential is +40 V.
   
   a) Calculate the change in electric potential energy of the proton.
   
   b) Calculate the work done by the electric field on the proton.
   
   c) What is the kinetic energy of the proton at the point where the potential is +40 V?
   
   Answer / Жауабы

   a) ΔE_P = q(V_final — V_initial) = (1.6 x 10^-19 C) * (40 V — 120 V) = (1.6 x 10^-19 C) * (-80 V) = -1.28 x 10^-17 J.
   
   b) Work done by field W_field = -ΔE_P = -(-1.28 x 10^-17 J) = +1.28 x 10^-17 J.
   
   c) By work-energy theorem, W_field = ΔK.E. Since it starts from rest, K.E_initial = 0.
   
   So, K.E_final = W_field = 1.28 x 10^-17 J.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) ΔE_P = q(V_соңғы - V_{бастапқы}) = (1.6 x 10^-19 Кл) * (40 В - 120 В) = (1.6 x 10^-19 Кл) * (-80 В) = -1.28 x 10^-17 Дж.
   
   b) Өріс атқарған жұмыс W_өріс = -ΔE_P = -(-1.28 x 10^-17 Дж) = +1.28 x 10^-17 Дж.
   
   c) Жұмыс-энергия теоремасы бойынша, W_өріс = ΔK.E. Тыныштықтан басталғандықтан, K.E_{бастапқы} = 0.
   
   Сонымен, K.E_соңғы = W_өріс = 1.28 x 10^-17 Дж.
   
   [/su_spoiler]
2. Analysis/Synthesis: Two point charges, Q_A = +5.0 µC and Q_B = -2.0 µC, are initially separated by a distance of 10.0 cm.
   
   a) Calculate the initial electric potential energy of the system.
   
   b) If Q_B is moved so that the separation becomes 20.0 cm, calculate the new electric potential energy of the system.
   
   c) How much work was done by an external agent to move Q_B? Did the external agent do positive or negative work?
   
   Answer / Жауабы

   a) r_initial = 0.10 m. E_P,initial = kQ_AQ_B / r_initial
   
   E_P,initial = (8.99 x 10⁹) * (5.0 x 10^-6 C) * (-2.0 x 10^-6 C) / (0.10 m)
   
   E_P,initial = (8.99 x 10⁹) * (-10.0 x 10^-12) / 0.10 = -89.9 x 10^-3 / 0.10 = -0.899 J.
   
   b) r_final = 0.20 m. E_P,final = kQ_AQ_B / r_final
   
   E_P,final = (8.99 x 10⁹) * (5.0 x 10^-6 C) * (-2.0 x 10^-6 C) / (0.20 m)
   
   E_P,final = -89.9 x 10^-3 / 0.20 = -0.4495 J.
   
   c) Work done by external agent W_ext = ΔE_P = E_P,final — E_P,initial
   
   W_ext = (-0.4495 J) — (-0.899 J) = -0.4495 J + 0.899 J = +0.4495 J.
   
   The external agent did positive work. This makes sense because the charges attract, so work is needed to pull them further apart.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   a) r_{бастапқы} = 0.10 м. E_{P,бастапқы} = kQ_AQ_B / r_{бастапқы}
   
   E_{P,бастапқы} = (8.99 x 10⁹) * (5.0 x 10^-6 Кл) * (-2.0 x 10^-6 Кл) / (0.10 м)
   
   E_{P,бастапқы} = (8.99 x 10⁹) * (-10.0 x 10^-12) / 0.10 = -89.9 x 10^-3 / 0.10 = -0.899 Дж.
   
   b) r_соңғы = 0.20 м. E_P,соңғы = kQ_AQ_B / r_соңғы
   
   E_P,соңғы = (8.99 x 10⁹) * (5.0 x 10^-6 Кл) * (-2.0 x 10^-6 Кл) / (0.20 м)
   
   E_P,соңғы = -89.9 x 10^-3 / 0.20 = -0.4495 Дж.
   
   c) Сыртқы агент атқарған жұмыс W_сыртқы = ΔE_P = E_P,соңғы - E_{P,бастапқы}
   
   W_сыртқы = (-0.4495 Дж) - (-0.899 Дж) = -0.4495 Дж + 0.899 Дж = +0.4495 Дж.
   
   Сыртқы агент оң жұмыс атқарды. Бұл мағыналы, себебі зарядтар тартылады, сондықтан оларды алысырақ тарту үшін жұмыс қажет.
   
   [/su_spoiler]
3. Synthesis: Explain why electric potential is a useful concept even though it’s a scalar quantity, while the electric field (a vector) directly describes the force on a charge.
   
   Answer / Жауабы

   Even though electric potential is a scalar, it’s very useful for several reasons:

   • Simplicity in Calculations: Being a scalar, potential is often easier to calculate and work with than the vector electric field, especially for complex charge distributions. To find the total potential at a point due to multiple charges, you simply add the potentials algebraically, whereas for electric fields, you need to perform vector addition.
   • Energy Considerations: Potential is directly related to electric potential energy (E_P = qV). This makes it straightforward to analyze energy changes and work done in electrical systems, which is crucial in many applications (e.g., circuits, particle accelerators).
   • Defining Equipotential Surfaces: The concept of potential allows us to define equipotential surfaces (surfaces where V is constant). These surfaces are always perpendicular to electric field lines and help visualize the field and understand charge movement (no work is done moving a charge along an equipotential surface).
   • Circuit Analysis: Potential difference (voltage) is a fundamental concept in analyzing electric circuits. Ohm’s Law and Kirchhoff’s laws are based on potential differences.

   While the electric field directly gives the force, potential provides a scalar «map» of the energy landscape for charges, simplifying many problems.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Электрлік потенциал скалярлық шама болса да, ол бірнеше себептерге байланысты өте пайдалы:

   • Есептеулердегі қарапайымдылық: Скаляр болғандықтан, потенциалды есептеу және онымен жұмыс істеу векторлық электр өрісіне қарағанда жиі оңайырақ, әсіресе күрделі заряд таралулары үшін. Бірнеше зарядтар тудырған нүктедегі жалпы потенциалды табу үшін сіз потенциалдарды алгебралық түрде қосасыз, ал электр өрістері үшін векторлық қосуды орындау керек.
   • Энергетикалық қарастырулар: Потенциал электрлік потенциалдық энергиямен тікелей байланысты (E_P = qV). Бұл электрлік жүйелердегі энергия өзгерістерін және атқарылған жұмысты талдауды жеңілдетеді, бұл көптеген қолданбаларда (мысалы, тізбектер, бөлшек үдеткіштері) маңызды.
   • Эквипотенциалды беттерді анықтау: Потенциал ұғымы бізге эквипотенциалды беттерді (V тұрақты болатын беттер) анықтауға мүмкіндік береді. Бұл беттер әрқашан электр өрісінің күш сызықтарына перпендикуляр және өрісті көрнекілендіруге және заряд қозғалысын түсінуге көмектеседі (эквипотенциалды бет бойымен зарядты жылжытқанда жұмыс атқарылмайды).
   • Тізбектерді талдау: Потенциалдар айырымы (кернеу) электр тізбектерін талдаудағы негізгі ұғым болып табылады. Ом заңы мен Кирхгоф заңдары потенциалдар айырымына негізделген.

   Электр өрісі тікелей күшті берсе де, потенциал зарядтар үшін энергия ландшафтының скалярлық "картасын" ұсынады, бұл көптеген есептерді жеңілдетеді.
   

   [/su_spoiler]
4. Application/Analysis: The electric potential at a distance ‘r’ from a point charge Q is 450 V. The electric field strength at the same point is 1500 N C^-1. Determine the values of ‘r’ and ‘Q’.
   
   Answer / Жауабы

   We have V = kQ/r (1) and E = kQ/r² (2).
   
   From (1), kQ = Vr. Substitute this into (2):
   
   E = (Vr)/r² = V/r
   
   So, r = V/E.
   
   Given V = 450 V and E = 1500 N C^-1.
   
   r = 450 V / 1500 N C^-1 = 0.30 m.
   
   Now find Q using V = kQ/r:
   
   Q = Vr/k = (450 V * 0.30 m) / (8.99 x 10⁹ N m² C^-2)
   
   Q = 135 / (8.99 x 10⁹) C
   
   Q ≈ 15.016 x 10^-9 C ≈ 1.50 x 10^-8 C or 15.0 nC.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Бізде V = kQ/r (1) және E = kQ/r² (2) бар.
   
   (1) формуласынан kQ = Vr. Мұны (2) формуласына қоямыз:
   
   E = (Vr)/r² = V/r
   
   Сонымен, r = V/E.
   
   Берілгені V = 450 В және E = 1500 Н Кл^-1.
   
   r = 450 В / 1500 Н Кл^-1 = 0.30 м.
   
   Енді V = kQ/r формуласын пайдаланып Q-ны табыңыз:
   
   Q = Vr/k = (450 В * 0.30 м) / (8.99 x 10⁹ Н м² Кл^-2)
   
   Q = 135 / (8.99 x 10⁹) Кл
   
   Q ≈ 15.016 x 10^-9 Кл ≈ 1.50 x 10^-8 Кл немесе 15.0 нКл.
   
   [/su_spoiler]
5. Critical Thinking/Evaluation: «If the electric potential energy of a system of two charges is zero, it means there are no charges present or they are infinitely far apart.» Critically evaluate this statement. Is it always true? Can you think of a scenario where E_P = 0 but charges are present and at a finite distance?
   
   Answer / Жауабы

   The statement is generally true for simple cases but not universally.
   
   «No charges present»: If there are no charges (Q=0 or q=0), then E_P = kQq/r will be zero. This part is true.
   
   «Infinitely far apart»: If r → ∞, then E_P = kQq/r → 0. This is the conventional reference point for zero potential energy, so this part is also true.
   
   However, the statement isn’t *always* true if we consider systems with more than two charges, or specific reference points.
   
   For a system of *two* charges Q and q, E_P = kQq/r. For this to be zero with Q, q ≠ 0 and r finite, it’s not possible unless k=0 (which is not the case).
   
   But consider a system of *three or more charges*. The total potential energy is the sum of the potential energies of all unique pairs. It’s possible for this sum to be zero even if individual pair energies are not zero, due to a combination of positive and negative potential energies.
   
   For example, consider three charges in a line: Q₁ at x=0, Q₂ at x=d, Q₃ at x=2d.
   
   E_P,total = E_P12 + E_P13 + E_P23 = kQ₁Q₂/d + kQ₁Q₃/(2d) + kQ₂Q₃/d.
   
   If Q₁ = +Q, Q₂ = -Q, Q₃ = + (2/3)Q:
   
   E_P,total = k(-Q²)/d + k(2Q²)/(6d) + k(-2Q²)/(3d)
   
   E_P,total = kQ²/d * (-1 + 1/3 — 2/3) = kQ²/d * (-1 + 1) = 0.
   
   In this scenario, charges are present at finite distances, but their total electric potential energy is zero.
   
   So, the statement is true for a system of two point charges (assuming the standard reference of zero potential at infinity), but not necessarily for systems of multiple charges.
   

   Жауап (Kazakh Translation)

   Бұл тұжырым қарапайым жағдайлар үшін жалпы алғанда дұрыс, бірақ әмбебап емес.
   
   "Зарядтар жоқ": Егер зарядтар жоқ болса (Q=0 немесе q=0), онда E_P = kQq/r нөлге тең болады. Бұл бөлігі дұрыс.
   
   "Шексіз алыс орналасқан": Егер r → ∞ болса, онда E_P = kQq/r → 0. Бұл нөлдік потенциалдық энергия үшін дәстүрлі санақ нүктесі, сондықтан бұл бөлігі де дұрыс.
   
   Алайда, егер біз екіден көп зарядтан тұратын жүйелерді немесе нақты санақ нүктелерін қарастырсақ, бұл тұжырым *әрдайым* дұрыс емес.
   
   *Екі* Q және q зарядтан тұратын жүйе үшін E_P = kQq/r. Q, q ≠ 0 және r шекті болғанда, бұл k=0 болмаса (бұл жағдай емес) мүмкін емес.
   
   Бірақ *үш немесе одан да көп зарядтан* тұратын жүйені қарастырайық. Жалпы потенциалдық энергия – барлық бірегей жұптардың потенциалдық энергияларының қосындысы. Жеке жұп энергиялары нөлге тең болмаса да, оң және теріс потенциалдық энергиялардың комбинациясы арқасында бұл қосындының нөлге тең болуы мүмкін.
   
   Мысалы, түзу бойындағы үш зарядты қарастырайық: Q₁ x=0-де, Q₂ x=d-де, Q₃ x=2d-де.
   
   E_P,total = E_P12 + E_P13 + E_P23 = kQ₁Q₂/d + kQ₁Q₃/(2d) + kQ₂Q₃/d.
   
   Егер Q₁ = +Q, Q₂ = -Q, Q₃ = + (2/3)Q болса:
   
   E_P,total = k(-Q²)/d + k(2Q²)/(6d) + k(-2Q²)/(3d)
   
   E_P,total = kQ²/d * (-1 + 1/3 - 2/3) = kQ²/d * (-1 + 1) = 0.
   
   Бұл сценарийде зарядтар шекті қашықтықта орналасқан, бірақ олардың жалпы электрлік потенциалдық энергиясы нөлге тең.
   
   Сонымен, бұл тұжырым екі нүктелік зарядтан тұратын жүйе үшін дұрыс (шексіздікте нөлдік потенциалдың стандартты санақ нүктесін ескергенде), бірақ бірнеше зарядтан тұратын жүйелер үшін міндетті емес.
   
   [/su_spoiler]

• Save My Exams (A-Level Physics CIE — Electric Potential): Save My Exams — Electric Potential
• PhysicsAndMathsTutor (A-Level CIE — Electric Potential): PhysicsAndMathsTutor — Electric Fields (includes potential)
• Khan Academy (Electric potential energy): Khan Academy — Electric Potential Energy
• HyperPhysics (Electric Potential Energy): HyperPhysics — Electric Potential Energy

Take a few moments to reflect on what you’ve learned:

• How does electric potential differ from electric potential energy? Why are both concepts important?
• Explain in your own words how the formula E_P = Qq/(4πε₀r) is derived from the concept of electric potential.
• Can electric potential energy be negative? If so, what does a negative E_P signify for two point charges?