• 3.3.4 Understand that, while momentum of a system is always conserved in interactions between objects, some change in kinetic energy may take place.
• Define and differentiate between elastic and inelastic collisions.
• Apply the principle of conservation of momentum to solve problems involving collisions.
• Calculate kinetic energy changes in collisions.
• Analyze real-world examples of elastic and inelastic collisions.

• Students will be able to define key vocabulary terms related to collisions in English.
• Students will be able to explain the concepts of elastic and inelastic collisions in English using appropriate scientific terminology.
• Students will be able to discuss and compare momentum and kinetic energy in different types of collisions in English.
• Students will be able to interpret and solve word problems related to collisions in English.

<!-- Example Quizlet Embed Code (replace with a real one) -->
<iframe src="https://quizlet.com/123456789/flashcards/embed?i=abcde&x=1jj1" height="500" width="100%" style="border:0;"></iframe>

Instructions for students: Go through the flashcards. Try to recall the definition before flipping the card. Use the different study modes Quizlet offers.

• m₁, m₂ are the masses of object 1 and object 2.
• u₁, u₂ are the initial velocities of object 1 and object 2.
• v₁, v₂ are the final velocities of object 1 and object 2.

Remember that ***-velocity-***жылдамдық/скорость (and therefore momentum) is a vector quantity, so direction is important. In one-dimensional collisions, we can use positive and negative signs to indicate direction. Kinetic Energy in Collisions While momentum is always conserved in an isolated system, ***-kinetic energy-***кинетикалық энергия/кинетическая энергия (KE) is not always conserved. The conservation (or lack thereof) of kinetic energy is what distinguishes elastic and inelastic collisions. Kinetic energy is calculated as: KE = ¹⁄₂mv² Elastic Collisions An elastic collision is defined as a collision in which the total kinetic energy of the system is conserved. This means the total KE before the collision is equal to the total KE after the collision. ¹⁄₂m₁u₁² + ¹⁄₂m₂u₂² = ¹⁄₂m₁v₁² + ¹⁄₂m₂v₂² In an ideal elastic collision, no kinetic energy is ***-converted-***айналдырылған/преобразована into other forms of energy like heat, sound, or potential energy due to deformation. Examples include collisions between billiard balls (approximately elastic) or atoms. Inelastic Collisions An inelastic collision is one in which the total kinetic energy of the system is not conserved. Some kinetic energy is transformed into other forms of energy. However, momentum is still conserved. Total KE_before ≠ Total KE_after (specifically, Total KE_after < Total KE_before) Most real-world collisions are inelastic to some extent. For example, when two cars collide, some energy is lost as sound, and some is used to ***-deform-***деформациялау/деформировать the car bodies (which can be considered a form of stored potential energy that is not recovered as kinetic energy). Perfectly Inelastic Collisions A perfectly inelastic collision (also known as a completely inelastic collision) is a special type of inelastic collision where the colliding objects ***-stick together-***жабысып қалады/слипаются after impact and move with a common final velocity (v_f). This type of collision results in the maximum possible loss of kinetic energy (consistent with momentum conservation). For a perfectly inelastic collision, the conservation of momentum equation becomes: m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁ + m₂)v_f Examples include a meteorite striking the Earth, or two lumps of clay colliding and sticking together. Coefficient of Restitution (e) (Advanced Concept — often covered in more detail later) The degree of elasticity of a collision can be quantified by the coefficient of restitution (e). It’s the ratio of the relative speed of separation to the relative speed of approach. e = (v₂ — v₁) / (u₁ — u₂)

• For a perfectly elastic collision, e = 1.
• For a perfectly inelastic collision, e = 0.
• For other inelastic collisions, 0 < e < 1.

Questions on the Theory:

1. (Easy) What are the two main physical quantities discussed in relation to collisions?
   Answer

   Momentum and Kinetic Energy.
2. (Medium) Explain the difference between an elastic and an inelastic collision in terms of kinetic energy.
   Answer

   In an elastic collision, total kinetic energy is conserved (KE_before = KE_after). In an inelastic collision, total kinetic energy is not conserved; some kinetic energy is transformed into other forms of energy (KE_after < KE_before).
3. (Medium) A 2 kg ball moving at 5 m/s collides with a stationary 3 kg ball. They stick together after the collision. Is this collision elastic or inelastic? Why?
   Answer

   This is a perfectly inelastic collision. It’s inelastic because the objects stick together, which is a characteristic of perfectly inelastic collisions where maximum kinetic energy (consistent with momentum conservation) is lost. In such cases, kinetic energy is not conserved.
4. (Hard — Critical Thinking) Imagine a scenario where two identical billiard balls collide head-on. Ball A is moving, and Ball B is stationary. After the collision, Ball A comes to a complete stop, and Ball B moves off with the initial velocity of Ball A. Could this collision be perfectly elastic? Justify your answer using the principles of conservation of momentum and kinetic energy. What would happen if the collision was inelastic?
   Answer

   Yes, this collision could be perfectly elastic. Momentum Conservation: Let mass be ‘m’, initial velocity of A be ‘u’, and final velocity of B be ‘v’. Initial momentum = mu + m(0) = mu. Final momentum = m(0) + mv. For momentum to be conserved, mu = mv, so u = v. This condition is met as described. Kinetic Energy Conservation (for elastic): Initial KE = ¹⁄₂mu² + 0 = ¹⁄₂mu². Final KE = 0 + ¹⁄₂mv². Since u = v, Initial KE = Final KE. Thus, kinetic energy is conserved, and the collision is elastic. This specific outcome (moving object stops, stationary object moves off with initial velocity) is a classic example of an elastic head-on collision between two objects of equal mass. If the collision was inelastic: If the collision were inelastic, kinetic energy would not be conserved (KE_final < KE_initial). This would mean that after the collision, Ball B would move off with a speed *less* than the initial speed of Ball A, and/or Ball A might not come to a complete stop but might rebound with a small velocity or continue moving forward slowly. Some energy would be lost to heat, sound, or deformation of the balls. In a perfectly inelastic collision, they would stick together and move with a common velocity less than ‘u’.

1. A collision where kinetic energy is conserved is called an _______________ collision.
   Answer

   elastic
2. The product of an object’s mass and its velocity is its _______________.
   Answer

   momentum
3. In any collision within an isolated system, _______________ is always conserved.
   Answer

   momentum
4. If two cars crash and crumple together, it is an example of an _______________ collision, likely a _______________ inelastic collision.
   Answer

   inelastic, perfectly
5. The energy an object has due to its motion is called _______________.
   Answer

   kinetic energy

Match the term with its definition:

1. Elastic Collision
2. Inelastic Collision
3. Momentum
4. Perfectly Inelastic Collision

A) Objects stick together after collision. B) Kinetic energy is not conserved, but momentum is. C) Both momentum and kinetic energy are conserved. D) Mass times velocity.

• Crash Course Physics: Collisions (General overview, engaging)
• Walter Lewin — Elastic and Inelastic Collisions (MIT lecture style, more in-depth)
• Search for more videos on «Conservation of Momentum and Energy in Collisions»

Imagine Car A moving right (+20 m/s) and Car B moving left (-10 m/s).

Example 2: Elastic Collision A 0.5 kg ball (Ball 1) moving at 4 m/s collides elastically and head-on with an identical 0.5 kg ball (Ball 2) that is initially at rest. What are the velocities of the two balls after the collision?

1. Select the «Explore 1D» or «Advanced» tab in the simulation.
2. Set up scenarios for both elastic and inelastic collisions. You can adjust masses, initial velocities, and the elasticity (from 0 for perfectly inelastic to 1 for perfectly elastic).
3. Observe the momentum and kinetic energy values before and after collisions. Check the «Show Values» and «Energy Diagram» options.

Investigation Questions:

1. Scenario 1 (Elastic):
   • Set two balls of equal mass (e.g., m1=1kg, m2=1kg).
   • Give Ball 1 an initial velocity (e.g., 1 m/s) and Ball 2 an initial velocity of 0 m/s.
   • Set elasticity to 100% (elastic).
   • Run the simulation. What happens to the velocities of the balls after the collision? Is momentum conserved? Is kinetic energy conserved?
   Answer for Scenario 1

   After the collision, Ball 1 will come to rest (or nearly rest), and Ball 2 will move off with the initial velocity of Ball 1. This is the «exchange of velocities» typical for equal mass elastic collisions. Momentum is conserved. Kinetic energy is conserved.
2. Scenario 2 (Perfectly Inelastic):
   • Use the same masses and initial velocities as Scenario 1.
   • Set elasticity to 0% (perfectly inelastic — they will stick together).
   • Run the simulation. What is the final velocity of the combined mass? Is momentum conserved? Is kinetic energy conserved? Compare the final kinetic energy to the initial kinetic energy.
   Answer for Scenario 2

   The two balls will stick together and move with a common final velocity. This final velocity will be half of the initial velocity of Ball 1 (if masses are equal, v_final = u1/2). Momentum is conserved. Kinetic energy is NOT conserved; the final kinetic energy will be significantly less than the initial kinetic energy (specifically, half of the initial KE if masses are equal and one was initially at rest).
3. Scenario 3 (Unequal Masses, Elastic):
   • Set Ball 1 to be much heavier than Ball 2 (e.g., m1=2kg, m2=0.5kg).
   • Give Ball 1 an initial velocity (e.g., 1 m/s) and Ball 2 an initial velocity of 0 m/s.
   • Set elasticity to 100%.
   • Describe the motion of both balls after the collision.
   Answer for Scenario 3

   The heavier Ball 1 will continue moving in the same direction but with a reduced speed. The lighter Ball 2 will move off in the same direction as Ball 1 but with a speed greater than the initial speed of Ball 1. Momentum and kinetic energy are conserved.
4. Scenario 4 (Unequal Masses, Ball 1 lighter, Elastic):
   • Set Ball 1 to be much lighter than Ball 2 (e.g., m1=0.5kg, m2=2kg).
   • Give Ball 1 an initial velocity (e.g., 1 m/s) and Ball 2 an initial velocity of 0 m/s.
   • Set elasticity to 100%.
   • Describe the motion of both balls after the collision.
   Answer for Scenario 4

   The lighter Ball 1 will bounce back (reverse direction). The heavier Ball 2 will move forward slowly in the original direction of Ball 1. Momentum and kinetic energy are conserved.

1. Create Categories: As a group, create three main categories:
   • Always True for All Collisions (in an isolated system)
   • True for Elastic Collisions Only
   • True for Inelastic Collisions Only (or more prominent in inelastic)
2. Sort Statements/Concepts: Provide students with a list of statements or concepts related to collisions (or have them brainstorm). They need to discuss and place each statement/concept into the correct category.Example Statements:
   • Momentum is conserved.
   • Kinetic energy is conserved.
   • Objects stick together.
   • Objects bounce apart.
   • Some energy is converted to heat/sound.
   • Total energy is conserved (though KE might not be).
   • Equation: m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ applies.
   • Equation: KE_initial = KE_final applies.
   • Coefficient of restitution is 1.
   • Coefficient of restitution is 0.
   • Coefficient of restitution is between 0 and 1.
   • A car crash.
   • Billiard balls colliding (ideally).
3. Discuss and Justify: For each placement, the group should discuss why they chose that category and be prepared to justify their reasoning.

Alternative Online Tools:

• LearningApps.org: Create a «Group Assignment» or «Matching Pairs» activity. Example: Similar sorting idea (you’d need to create one for collisions). Search for «collisions» or «momentum» on LearningApps.
• Quizizz: Create a «Team» quiz where questions require students to classify collision types or properties.
• GoConqr: Create a mind map or flashcard deck for collaborative review.

You will need to create the specific activity on your chosen platform.

1. Analysis & Calculation: A 2.0 kg block of wood slides across a frictionless surface at 5.0 m/s. A 0.01 kg (10 g) bullet is fired into the block and embeds itself. The block and bullet then move together at 2.0 m/s. a) Calculate the initial momentum of the block and the initial momentum of the bullet (you’ll need to find the bullet’s initial speed). b) Calculate the total kinetic energy of the system before the collision. c) Calculate the total kinetic energy of the system after the collision. d) Was this collision elastic or inelastic? Justify your answer quantitatively. How much energy was transformed?
   Answer

   Let m_w = 2.0 kg (wood), u_w = 5.0 m/s. Let m_b = 0.01 kg (bullet), u_b = initial speed of bullet. Let v_f = 2.0 m/s (final common speed). a) Initial momentum & bullet’s initial speed: Total initial momentum = Total final momentum m_wu_w + m_bu_b = (m_w + m_b)v_f (2.0 kg)(5.0 m/s) + (0.01 kg)u_b = (2.0 kg + 0.01 kg)(2.0 m/s) 10.0 kg·m/s + 0.01u_b = (2.01 kg)(2.0 m/s) 10.0 + 0.01u_b = 4.02 0.01u_b = 4.02 — 10.0 0.01u_b = -5.98 u_b = -5.98 / 0.01 = -598 m/s. The negative sign indicates the bullet was fired in the opposite direction to the block’s initial motion for them to slow down to 2 m/s in the original direction of the block. If we assume they move in the same direction initially and the final speed is still 2.0 m/s in that direction, this problem setup is unusual as the bullet would need to slow the block. Let’s re-evaluate the question’s intent. Re-interpretation: Assume the bullet is fired into the block, and they move *together*. The question implies the block is already moving. If the final speed is less than the block’s initial speed, the bullet must have been fired from behind, slowing it, or from the front. Let’s assume the bullet is fired *into* the block from behind, in the same direction. Corrected approach assuming bullet fired into a moving block, and they move together. If the final speed (2 m/s) is in the same direction as the initial block speed (5 m/s), the bullet must have been fired from behind and its momentum contribution was negative relative to the block if it slowed it down, or it was fired from the front. This is tricky. Let’s assume the bullet is fired into the block and they move off together. The most common scenario is a bullet hitting a stationary block, or a moving block being hit such that their combined speed is different. Given the wording, let’s assume the bullet is fired *into* the block, and the final speed is in the direction of the block’s initial movement. Let’s assume the question meant the bullet is fired in the same direction as the block’s motion. m_wu_w + m_bu_b = (m_w + m_b)v_f (2.0 kg)(5.0 m/s) + (0.01 kg)u_b = (2.01 kg)(2.0 m/s) 10 + 0.01u_b = 4.02 0.01u_b = 4.02 — 10 = -5.98 u_b = -598 m/s. This means the bullet was fired in the opposite direction to the block’s motion. Initial momentum of block: P_w = m_wu_w = (2.0 kg)(5.0 m/s) = 10.0 kg·m/s. Initial momentum of bullet: P_b = m_bu_b = (0.01 kg)(-598 m/s) = -5.98 kg·m/s. (The bullet’s initial speed was 598 m/s in the direction opposite to the block’s initial motion). b) Initial KE: KE_initial = ¹⁄₂m_wu_w² + ¹⁄₂m_bu_b² KE_initial = ¹⁄₂(2.0)(5.0)² + ¹⁄₂(0.01)(-598)² KE_initial = 25 J + ¹⁄₂(0.01)(357604) J KE_initial = 25 J + 1788.02 J = 1813.02 J c) Final KE: KE_final = ¹⁄₂(m_w + m_b)v_f² KE_final = ¹⁄₂(2.01 kg)(2.0 m/s)² KE_final = ¹⁄₂(2.01)(4) J = 4.02 J d) Elastic or Inelastic? Since KE_initial (1813.02 J) ≠ KE_final (4.02 J), the collision is inelastic. Specifically, KE_final < KE_initial. Energy transformed = KE_initial — KE_final = 1813.02 J — 4.02 J = 1809 J. This energy was transformed into heat, sound, and deformation of the wood and bullet.
2. Synthesis & Design: You are designing a safety bumper for a new type of go-kart. The go-kart has a mass of 150 kg. The bumper needs to absorb energy during a collision. Describe how the principles of inelastic collisions would be applied in the design of this bumper. What material properties would be desirable for the bumper to maximize energy absorption? Why is it preferable for the bumper to facilitate an inelastic collision rather than an elastic one in a crash scenario?
   Answer

   Principles of Inelastic Collisions: The bumper would be designed to make collisions as inelastic as possible. This means that during an impact, a significant portion of the kinetic energy of the collision should be converted into other forms of energy, primarily heat and permanent deformation of the bumper material, rather than being conserved as kinetic energy (which would cause the go-kart to bounce back significantly). Material Properties: Desirable properties for the bumper material to maximize energy absorption include: 1. Ductility/Malleability: The material should be able to deform significantly without fracturing. This deformation process absorbs energy. 2. High Hysteresis: Materials with high internal damping or hysteresis will dissipate more energy as heat when they are deformed and then attempt to return to their original shape (though for a bumper, permanent deformation is often part of the design). 3. Crushability: Materials designed to crumple or crush in a controlled manner (like crumple zones in cars) are effective at absorbing large amounts of kinetic energy. 4. Low Coefficient of Restitution: This directly relates to the inelasticity of the collision. A material that doesn’t «bounce back» much is preferred. Examples could include certain polymers, composites, or engineered metal structures designed to crumple. Why Inelastic is Preferable: In a crash scenario, an inelastic collision is preferable for a safety bumper for several reasons: 1. Reduced Rebound: An elastic collision would cause the go-kart to bounce off the obstacle with a significant portion of its initial speed (or transfer significant momentum causing a large change in its own velocity if it hits a stationary object). This rebound can lead to secondary collisions or loss of control. An inelastic collision minimizes this bounce. 2. Energy Dissipation: The primary purpose of the bumper is to protect the occupant and the go-kart structure. By deforming and converting kinetic energy into other forms, the bumper reduces the peak forces experienced by the go-kart and its occupant during the impact. This extends the time over which the change in momentum occurs, thereby reducing the average force (Impulse-Momentum Theorem: FΔt = Δp). 3. Minimizing Injury: By absorbing energy and reducing peak forces, an inelastic bumper system helps to reduce the accelerations (or decelerations) experienced by the driver, lowering the risk of injury. Essentially, an inelastic bumper «sacrifices» itself to protect the more valuable components (driver and main chassis).
3. Critical Evaluation: A student claims that if two objects collide and come to a complete stop, momentum has not been conserved because the final momentum is zero. Critically evaluate this statement. Under what conditions, if any, could this scenario (two objects colliding and both stopping) be consistent with the law of conservation of momentum? What about kinetic energy in such a scenario?
   Answer

   The student’s claim that momentum has not been conserved simply because the final momentum is zero is incorrect. The law of conservation of momentum states that the total momentum of an isolated system remains constant. If the total initial momentum of the system was zero, then a final total momentum of zero is perfectly consistent with conservation of momentum. Conditions for consistency with Conservation of Momentum: This scenario (two objects colliding and both stopping, so v_{1_final} = 0 and v_{2_final} = 0) can be consistent with the conservation of momentum if the total initial momentum of the system was also zero. Total initial momentum = m₁u₁ + m₂u₂. Total final momentum = m₁(0) + m₂(0) = 0. For momentum to be conserved, m₁u₁ + m₂u₂ = 0. This means the initial momenta of the two objects must have been equal in magnitude but opposite in direction. For example:

   • Object 1 (mass m₁) moving with velocity u₁ to the right.
   • Object 2 (mass m₂) moving with velocity u₂ to the left.
   • If m₁u₁ = -m₂u₂ (i.e., their momenta are equal and opposite), then the total initial momentum is zero.

   If they then collide and both come to a stop, momentum is conserved. Kinetic Energy in such a scenario: If both objects come to a complete stop, their final kinetic energy is zero (KE_final = ¹⁄₂m₁(0)² + ¹⁄₂m₂(0)² = 0). However, their initial kinetic energy would have been: KE_initial = ¹⁄₂m₁u₁² + ¹⁄₂m₂u₂². Since u₁ and u₂ must be non-zero for them to be moving initially, KE_initial > 0. Since KE_initial > 0 and KE_final = 0, kinetic energy is not conserved. This means such a collision must be perfectly inelastic. All the initial kinetic energy is transformed into other forms of energy (heat, sound, deformation). Conclusion: The scenario is possible and consistent with conservation of momentum if the initial total momentum was zero. However, it would always be a perfectly inelastic collision because all kinetic energy would be lost.

4. Application & Analysis: In many sports, like tennis or golf, players try to achieve a collision that is as elastic as possible between their racket/club and the ball. Why is this desirable? Consider what happens to the speed of the ball and the energy transfer. Now, consider a different scenario: a catcher in baseball catching a fast pitch. Is it more desirable for the catcher’s mitt to facilitate an elastic or an inelastic collision? Explain your reasoning.
   Answer

   Tennis/Golf (Elastic Collision Desired): In sports like tennis or golf, an elastic collision is desirable because the goal is to maximize the speed of the ball after impact, and to efficiently transfer energy from the player (via the racket/club) to the ball. 1. Maximizing Ball Speed: In a perfectly elastic collision, kinetic energy is conserved. If the racket/club head has a high velocity and transfers its momentum and energy efficiently, the ball will leave with a high velocity. The coefficient of restitution (e) is close to 1 for these interactions. A higher ‘e’ means a greater outgoing relative speed for a given incoming relative speed. 2. Efficient Energy Transfer: Players want as much of the energy they put into their swing to be transferred to the ball as kinetic energy. If the collision were significantly inelastic, a large portion of this energy would be lost as heat or deformation of the ball/racket strings, resulting in a slower ball. Essentially, players want the ball to «bounce» off the racket/club with maximum possible speed. Baseball Catcher (Inelastic Collision Desired): For a catcher in baseball catching a fast pitch, it is more desirable for the catcher’s mitt to facilitate an inelastic collision. 1. Minimizing Rebound (Ball Control): The primary goal of the catcher is to securely catch the ball and prevent it from bouncing out of the mitt. An elastic collision would cause the ball to rebound with significant speed, making it very difficult to control and catch. An inelastic collision (ideally perfectly inelastic, where e=0 or close to it) ensures the ball «sticks» in the mitt or has minimal bounce. 2. Absorbing Energy (Reducing Sting/Injury): A fast pitch carries a lot of kinetic energy. The catcher’s mitt is designed to absorb this energy over a slightly extended period and larger area. The padding in the mitt deforms, converting the ball’s kinetic energy into heat and sound. This reduces the impact force felt by the catcher’s hand (F = Δp/Δt; by increasing Δt through padding and «giving» with the catch, F is reduced). If the collision were elastic, the full force of the abrupt change in momentum would be more directly transferred to the hand, causing pain and potential injury. 3. Preventing Pass Balls/Wild Pitches: Securely catching the ball prevents it from getting past the catcher, which can allow runners to advance. The mitt acts as a shock absorber, making the collision as inelastic as possible to ensure the ball is caught and the impact force on the hand is minimized.
5. Derivation & Interpretation (Advanced): For a one-dimensional elastic collision between two objects of mass m₁ and m₂, with initial velocities u₁ and u₂, the final velocities v₁ and v₂ can be expressed as: v₁ = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))u₁ + ((2m₂)/(m₁+m₂))u₂ v₂ = ((2m₁)/(m₁+m₂))u₁ + ((m₂-m₁)/(m₁+m₂))u₂ a) Consider the special case where m₁ = m₂. Simplify the equations and interpret the result. Does this match your understanding from simpler examples? b) Consider the special case where m₂ is very large (like a wall, m₂ → ∞) and is initially at rest (u₂ = 0). What happens to v₁ (the velocity of m₁ after collision)? Interpret this result. c) Consider the special case where m₁ is very large (m₁ → ∞) moving with u₁, and it hits a very small stationary mass m₂ (u₂ = 0). What is the final velocity v₂ of the small mass? Interpret this.
   Answer

   a) Special Case: m₁ = m₂ = m Substitute m₁ = m and m₂ = m into the equations: For v₁: v₁ = ((m-m)/(m+m))u₁ + ((2m)/(m+m))u₂ v₁ = (0/(2m))u₁ + (2m/(2m))u₂ v₁ = 0 * u₁ + 1 * u₂ v₁ = u₂ For v₂: v₂ = ((2m)/(m+m))u₁ + ((m-m)/(m+m))u₂ v₂ = (2m/(2m))u₁ + (0/(2m))u₂ v₂ = 1 * u₁ + 0 * u₂ v₂ = u₁ Interpretation: When two objects of equal mass collide elastically in one dimension, they exchange velocities. The final velocity of the first object becomes the initial velocity of the second object, and the final velocity of the second object becomes the initial velocity of the first object. This matches our understanding from simpler examples, such as one billiard ball hitting an identical stationary billiard ball (where u₂=0, so v₁=0 and v₂=u₁ – the first ball stops, the second moves off with the first’s initial velocity). b) Special Case: m₂ → ∞ (massive wall), u₂ = 0 We look at the equation for v₁: v₁ = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))u₁ + ((2m₂)/(m₁+m₂))u₂ Since u₂ = 0, the second term is zero. v₁ = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))u₁ Now, let m₂ → ∞. We can divide the numerator and denominator by m₂: v₁ = ((m₁/m₂ — 1)/(m₁/m₂ + 1))u₁ As m₂ → ∞, m₁/m₂ → 0. So, v₁ ≈ ((0 — 1)/(0 + 1))u₁ v₁ ≈ -u₁ Interpretation: When a smaller mass m₁ collides elastically with a very massive stationary object (like a wall), the smaller mass rebounds with the same speed but in the opposite direction. Its velocity is reversed. This makes sense, as the massive object will barely move, and to conserve kinetic energy and momentum, the smaller object must bounce back. c) Special Case: m₁ → ∞ (massive object), u₁, hits stationary m₂ (small), u₂ = 0 We look at the equation for v₂: v₂ = ((2m₁)/(m₁+m₂))u₁ + ((m₂-m₁)/(m₁+m₂))u₂ Since u₂ = 0, the second term is zero. v₂ = ((2m₁)/(m₁+m₂))u₁ Now, let m₁ → ∞. We can divide the numerator and denominator by m₁: v₂ = (2 / (1 + m₂/m₁))u₁ As m₁ → ∞, m₂/m₁ → 0. So, v₂ ≈ (2 / (1 + 0))u₁ v₂ ≈ 2u₁ Interpretation: When a very massive object m₁ (moving with velocity u₁) collides elastically with a very small stationary mass m₂, the small mass m₂ will move off with approximately twice the velocity of the incoming massive object. The massive object m₁ will continue with nearly its original velocity (v₁ ≈ u₁, which can be seen by applying the same limit to the v₁ equation: v₁ = ((m₁-m₂)/(m₁+m₂))u₁ ≈ (m₁/m₁)u₁ = u₁ as m₂ is negligible). This is like a bowling ball hitting a ping pong ball; the ping pong ball flies off at a much greater speed (relative to its initial state).

• Save My Exams — Collisions: Elastic & Inelastic Collisions (Save My Exams) (You may need to navigate to the relevant A-Level section for your board, e.g., CIE, Edexcel, AQA)
• PhysicsAndMathsTutor — Momentum Notes & Questions: Momentum (PhysicsAndMathsTutor) (Contains notes and past paper questions)
• OpenStax College Physics — Chapter 8: Linear Momentum and Collisions: Elastic Collisions in One Dimension and Inelastic Collisions in One Dimension
• Khan Academy — Elastic and Inelastic Collisions: Khan Academy Lessons
• HyperPhysics — Collisions: HyperPhysics Concepts

• What are the three most important things you learned about elastic and inelastic collisions today?
• What is one thing that still confuses you or that you would like to learn more about?
• How can you apply the concepts of momentum and energy conservation in collisions to real-world situations you observe? Give an example.
• On a scale of 1 (not confident) to 5 (very confident), how confident do you feel in solving problems involving elastic and inelastic collisions? What can you do to improve your confidence?

Write down your thoughts or discuss with a partner.

• 3.3.4 Жүйенің импульсі объектілер арасындағы өзара әрекеттесулерде әрдайым сақталатынын, бірақ кинетикалық энергияда кейбір өзгерістер болуы мүмкін екенін түсіну.
• Серпімді және серпімсіз соқтығыстарды анықтау және ажырату.
• Соқтығыстарға қатысты импульстің сақталу заңын есептер шығаруда қолдану.
• Соқтығыстардағы кинетикалық энергия өзгерістерін есептеу.
• Серпімді және серпімсіз соқтығыстардың нақты өмірдегі мысалдарын талдау.

• Оқушылар соқтығыстарға қатысты негізгі сөздерді қазақ тілінде анықтай алады.
• Оқушылар серпімді және серпімсіз соқтығыстар ұғымдарын ағылшын тілінде ғылыми терминдерді қолдана отырып түсіндіре алады.
• Оқушылар әртүрлі соқтығыстардағы импульс пен кинетикалық энергияны ағылшын тілінде салыстырып, талқылай алады.
• Оқушылар соқтығыстарға қатысты мәтіндік есептерді ағылшын тілінде түсініп, шығара алады.

1. Кинетикалық энергия сақталатын соқтығыс _______________ соқтығыс деп аталады.
   Жауап

   серпімді
2. Объектінің массасы мен жылдамдығының көбейтіндісі — оның _______________.
   Жауап

   импульсі
3. Жабық жүйедегі кез келген соқтығыста _______________ әрдайым сақталады.
   Жауап

   импульс
4. Екі көлік соғылып, бірігіп қалса, бұл — _______________ соқтығыстың, яғни _______________ серпімсіз соқтығыстың мысалы.
   Жауап

   серпімсіз, толық
5. Объектінің қозғалысына байланысты энергиясы _______________ деп аталады.
   Жауап

   кинетикалық энергия

Терминдерді анықтамасымен сәйкестендіріңіз:

1. Серпімді соқтығыс
2. Серпімсіз соқтығыс
3. Импульс
4. Толық серпімсіз соқтығыс

A) Соқтығысқаннан кейін объектілер бірігіп қалады. B) Кинетикалық энергия сақталмайды, бірақ импульс сақталады. C) Импульс пен кинетикалық энергия екеуі де сақталады. D) Масса мен жылдамдықтың көбейтіндісі.

• Crash Course Physics: Collisions (Жалпы шолу, қызықты)
• Walter Lewin — Elastic and Inelastic Collisions (MIT дәрісі, тереңірек)
• «Импульс пен энергияның сақталуы» бойынша басқа видеоларды іздеу

A көлігі оңға қарай (+20 м/с), B көлігі солға қарай (-10 м/с) қозғалады деп елестетіңіз.

Нұсқаулар:

1. Симуляциядан «Explore 1D» немесе «Advanced» қойындысын таңдаңыз.
2. Серпімді және серпімсіз соқтығыстар үшін сценарийлер құрыңыз. Массаларды, бастапқы жылдамдықтарды және серпімділікті (0 — толық серпімсізден 1 — толық серпімдіге дейін) өзгерте аласыз.
3. Соқтығысқа дейін және кейінгі импульс пен кинетикалық энергия мәндеріне назар аударыңыз. «Show Values» және «Energy Diagram» параметрлерін белгілеңіз.

Зерттеу сұрақтары:

1. 1-сценарий (Серпімді):
   • Екі шардың массасын бірдей етіп қойыңыз (мысалы, m1=1кг, m2=1кг).
   • 1-шарға бастапқы жылдамдық беріңіз (мысалы, 1 м/с), 2-шарға бастапқы жылдамдық 0 м/с.
   • Серпімділікті 100% (серпімді) етіңіз.
   • Симуляцияны іске қосыңыз. Соқтығыстан кейін шарлардың жылдамдығы қалай өзгереді? Импульс сақтала ма? Кинетикалық энергия сақтала ма?
   1-сценарийдің жауабы

   Соқтығыстан кейін 1-шар тоқтайды (немесе дерлік тоқтайды), ал 2-шар 1-шардың бастапқы жылдамдығымен қозғалады. Бұл — бірдей массадағы серпімді соқтығыстарға тән «жылдамдықтарды алмасу». Импульс сақталады. Кинетикалық энергия сақталады.
2. 2-сценарий (Толық серпімсіз):
   • Массалар мен бастапқы жылдамдықтарды 1-сценарийдегідей алыңыз.
   • Серпімділікті 0% (толық серпімсіз — шарлар бірігіп кетеді) етіңіз.
   • Симуляцияны іске қосыңыз. Бірігіп кеткен массаның соңғы жылдамдығы қандай? Импульс сақтала ма? Кинетикалық энергия сақтала ма? Соңғы кинетикалық энергияны бастапқымен салыстырыңыз.
   2-сценарийдің жауабы

   Екі шар бірігіп, ортақ соңғы жылдамдықпен қозғалады. Бұл соңғы жылдамдық 1-шардың бастапқы жылдамдығының жартысына тең болады (егер массалар тең болса, v_final = u1/2). Импульс сақталады. Кинетикалық энергия сақталмайды; соңғы кинетикалық энергия едәуір азаяды (егер массалар тең, біреуі тыныштықта болса — бастапқы KE-нің жартысы).
3. 3-сценарий (Әр түрлі масса, серпімді):
   • 1-шарды 2-шардан әлдеқайда ауыр етіңіз (мысалы, m1=2кг, m2=0.5кг).
   • 1-шарға бастапқы жылдамдық беріңіз (мысалы, 1 м/с), 2-шарға бастапқы жылдамдық 0 м/с.
   • Серпімділікті 100% етіңіз.
   • Соқтығыстан кейін екі шардың қозғалысын сипаттаңыз.
   3-сценарийдің жауабы

   Ауыр 1-шар сол бағытта баяулап қозғалады. Жеңіл 2-шар 1-шардың бастапқы жылдамдығынан жоғары жылдамдықпен сол бағытта қозғалады. Импульс пен кинетикалық энергия сақталады.
4. 4-сценарий (Әр түрлі масса, 1-шар жеңіл, серпімді):
   • 1-шарды 2-шардан әлдеқайда жеңіл етіңіз (мысалы, m1=0.5кг, m2=2кг).
   • 1-шарға бастапқы жылдамдық беріңіз (мысалы, 1 м/с), 2-шарға бастапқы жылдамдық 0 м/с.
   • Серпімділікті 100% етіңіз.
   • Соқтығыстан кейін екі шардың қозғалысын сипаттаңыз.
   4-сценарийдің жауабы

   Жеңіл 1-шар кері бағытқа «секіріп» кетеді. Ауыр 2-шар бастапқы бағытта баяу қозғалады. Импульс пен кинетикалық энергия сақталады.

Нұсқаулар:

1. Симуляциядан «Explore 1D» немесе «Advanced» қойындысын таңдаңыз.
2. Серпімді және серпімсіз соқтығыстар үшін сценарийлер құрыңыз. Массаларды, бастапқы жылдамдықтарды және серпімділікті (0 — толық серпімсізден 1 — толық серпімдіге дейін) өзгерте аласыз.
3. Соқтығысқа дейін және кейінгі импульс пен кинетикалық энергия мәндеріне назар аударыңыз. «Show Values» және «Energy Diagram» параметрлерін белгілеңіз.

Зерттеу сұрақтары:

1. 1-сценарий (Серпімді):
   • Екі шардың массасын бірдей етіп қойыңыз (мысалы, m1=1кг, m2=1кг).
   • 1-шарға бастапқы жылдамдық беріңіз (мысалы, 1 м/с), 2-шарға бастапқы жылдамдық 0 м/с.
   • Серпімділікті 100% (серпімді) етіңіз.
   • Симуляцияны іске қосыңыз. Соқтығыстан кейін шарлардың жылдамдығы қалай өзгереді? Импульс сақтала ма? Кинетикалық энергия сақтала ма?
   1-сценарийдің жауабы

   Соқтығыстан кейін 1-шар тоқтайды (немесе дерлік тоқтайды), ал 2-шар 1-шардың бастапқы жылдамдығымен қозғалады. Бұл — бірдей массадағы серпімді соқтығыстарға тән «жылдамдықтарды алмасу». Импульс сақталады. Кинетикалық энергия сақталады.
2. 2-сценарий (Толық серпімсіз):
   • Массалар мен бастапқы жылдамдықтарды 1-сценарийдегідей алыңыз.
   • Серпімділікті 0% (толық серпімсіз — шарлар бірігіп кетеді) етіңіз.
   • Симуляцияны іске қосыңыз. Бірігіп кеткен массаның соңғы жылдамдығы қандай? Импульс сақтала ма? Кинетикалық энергия сақтала ма? Соңғы кинетикалық энергияны бастапқымен салыстырыңыз.
   2-сценарийдің жауабы

   Екі шар бірігіп, ортақ соңғы жылдамдықпен қозғалады. Бұл соңғы жылдамдық 1-шардың бастапқы жылдамдығының жартысына тең болады (егер массалар тең болса, v_final = u1/2). Импульс сақталады. Кинетикалық энергия сақталмайды; соңғы кинетикалық энергия едәуір азаяды (егер массалар тең, біреуі тыныштықта болса — бастапқы KE-нің жартысы).
3. 3-сценарий (Әр түрлі масса, серпімді):
   • 1-шарды 2-шардан әлдеқайда ауыр етіңіз (мысалы, m1=2кг, m2=0.5кг).
   • 1-шарға бастапқы жылдамдық беріңіз (мысалы, 1 м/с), 2-шарға бастапқы жылдамдық 0 м/с.
   • Серпімділікті 100% етіңіз.
   • Соқтығыстан кейін екі шардың қозғалысын сипаттаңыз.
   3-сценарийдің жауабы

   Ауыр 1-шар сол бағытта баяулап қозғалады. Жеңіл 2-шар 1-шардың бастапқы жылдамдығынан жоғары жылдамдықпен сол бағытта қозғалады. Импульс пен кинетикалық энергия сақталады.
4. 4-сценарий (Әр түрлі масса, 1-шар жеңіл, серпімді):
   • 1-шарды 2-шардан әлдеқайда жеңіл етіңіз (мысалы, m1=0.5кг, m2=2кг).
   • 1-шарға бастапқы жылдамдық беріңіз (мысалы, 1 м/с), 2-шарға бастапқы жылдамдық 0 м/с.
   • Серпімділікті 100% етіңіз.
   • Соқтығыстан кейін екі шардың қозғалысын сипаттаңыз.
   4-сценарийдің жауабы

   Жеңіл 1-шар кері бағытқа «секіріп» кетеді. Ауыр 2-шар бастапқы бағытта баяу қозғалады. Импульс пен кинетикалық энергия сақталады.

1. Талдау және есептеу: 2,0 кг ағаш блок үйкеліссіз бетте 5,0 м/с жылдамдықпен сырғанайды. 0,01 кг (10 г) оқ блокқа атылып, оған кіріп қалады. Блок пен оқ бірігіп 2,0 м/с жылдамдықпен қозғалады. а) Блоктың бастапқы импульсі мен оқтың бастапқы импульсін есептеңіз (оқтың бастапқы жылдамдығын табуыңыз керек). б) Соқтығысқа дейінгі жүйенің толық кинетикалық энергиясын есептеңіз. в) Соқтығыстан кейінгі жүйенің толық кинетикалық энергиясын есептеңіз. г) Бұл соқтығыс серпімді ме, әлде серпімсіз бе? Жауабыңызды сандық тұрғыдан негіздеңіз. Қанша энергия түрленді?
   Жауап

   m_w = 2,0 кг (ағаш), u_w = 5,0 м/с. m_b = 0,01 кг (оқ), u_b = оқтың бастапқы жылдамдығы. v_f = 2,0 м/с (бірге қозғалыстың соңғы жылдамдығы). а) Бастапқы импульстер және оқтың бастапқы жылдамдығы: Бастапқы толық импульс = Соңғы толық импульс m_wu_w + m_bu_b = (m_w + m_b)v_f (2,0 кг)(5,0 м/с) + (0,01 кг)u_b = (2,0 кг + 0,01 кг)(2,0 м/с) 10,0 кг·м/с + 0,01u_b = (2,01 кг)(2,0 м/с) 10,0 + 0,01u_b = 4,02 0,01u_b = 4,02 — 10,0 0,01u_b = -5,98 u_b = -5,98 / 0,01 = -598 м/с. Теріс таңба оқтың блок қозғалысына қарама-қарсы бағытта атылғанын көрсетеді. Егер соңғы жылдамдық блоктың бастапқы қозғалысымен бірдей бағытта болса, оқ артынан атылған, яғни жылдамдығын төмендеткен. Түсіндіру: Оқ қозғалып келе жатқан блокқа артынан атылып кіріп, бірігіп қозғалады деп аламыз. Қарапайым тәсіл осы. m_wu_w + m_bu_b = (m_w + m_b)v_f (2,0 кг)(5,0 м/с) + (0,01 кг)u_b = (2,01 кг)(2,0 м/с) 10 + 0,01u_b = 4,02 0,01u_b = 4,02 — 10 = -5,98 u_b = -598 м/с. Демек, оқ блок қозғалысына қарсы бағытта атылған. Блоктың бастапқы импульсі: P_w = m_wu_w = (2,0 кг)(5,0 м/с) = 10,0 кг·м/с. Оқтың бастапқы импульсі: P_b = m_bu_b = (0,01 кг)(-598 м/с) = -5,98 кг·м/с. б) Бастапқы KE: KE_{бастапқы} = ¹⁄₂m_wu_w² + ¹⁄₂m_bu_b² = ¹⁄₂(2,0)(5,0)² + ¹⁄₂(0,01)(-598)² = 25 Дж + 1788,02 Дж = 1813,02 Дж в) Соңғы KE: KE_соңғы = ¹⁄₂(2,01 кг)(2,0 м/с)² = ¹⁄₂(2,01)(4) = 4,02 Дж г) Серпімді немесе серпімсіз бе? KE_{бастапқы} (1813,02 Дж) ≠ KE_соңғы (4,02 Дж), сондықтан бұл соқтығыс серпімсіз. Энергия түрлендіру: 1813,02 Дж — 4,02 Дж = 1809 Дж. Бұл энергия жылу, дыбыс және деформацияға жұмсалды.
2. Синтез және жобалау: Сіз жаңа типті картинг үшін қауіпсіздік бамперін жобалап жатырсыз. Картинг массасы 150 кг. Бампер соқтығыс кезінде энергияны сіңіруі керек. Осы бамперді жобалауда серпімсіз соқтығыстар принциптері қалай қолданылады? Бампердің энергияны сіңіруін барынша арттыру үшін қандай материалдық қасиеттер қажет? Неліктен апат кезінде бампердің серпімсіз соқтығысты қамтамасыз еткені серпімдіге қарағанда жақсы?
   Жауап

   Серпімсіз соқтығыстар принциптері: Бамперді соқтығысты барынша серпімсіз болатындай етіп жобалау керек. Яғни соқтығыс кезінде кинетикалық энергияның көп бөлігі басқа энергия түрлеріне (жылу, тұрақты деформация) айналуы керек, ал кинетикалық энергияның сақталуы (яғни картингтің қатты «секіруі») қажет емес. Материалдық қасиеттер: Бампер материалынан келесі қасиеттер талап етіледі: 1. Созылмалылық/икемділік: Материал сынбай, қатты деформациялануы керек. Бұл энергияны сіңіреді. 2. Жоғары ішкі демпфирлеу: Ішкі энергия жоғалтуы немесе гистерезисі жоғары материалдар механикалық энергияның көп бөлігін жылуға айналдырады. 3. Жақсы езілгіштік: Бақыланатын түрде мыжылатын/езілетін материалдар (автокөліктердегі «crumple zone» сияқты) көп энергия сіңіреді. 4. Төмен қалпына келу коэффициенті: Бұл соқтығыстың серпімсіздігіне тікелей байланысты. «Секіріп кетпейтін» материал жақсы. Мысал ретінде кейбір полимерлер, композиттер, арнайы металдар болуы мүмкін. Неліктен серпімсіздік жақсы: 1. Қайта серпілу азаяды: Серпімді соқтығыста картинг кедергіден бастапқы жылдамдығының көп бөлігін сақтап, қайта «секіреді». Бұл қауіпті. Серпімсіз соқтығыс бұған жол бермейді. 2. Энергия сіңіру: Бампердің негізгі мақсаты — энергияны сіңіріп, жүргізуші мен құрылымды қорғау. Деформация арқылы энергияны басқа түрлерге айналдырып, импульс өзгерісін ұзақ уақытқа созады, бұл күшті азайтады (FΔt = Δp). 3. Жарақаттың азаюы: Энергия сіңіру мен күшті азайту жүргізушінің үдеуін азайтады, жарақат қаупін төмендетеді. Яғни, серпімсіз бампер өзін «құрбан етіп», маңызды компоненттерді (жүргізуші мен шасси) қорғайды.
3. Сыни бағалау: Бір оқушы екі дене соқтығысып, толығымен тоқтаса, импульс сақталмайды дейді, себебі соңғы импульс нөл деп санайды. Осы пікірді сыни бағалаңыз. Бұл жағдай (екі дененің соқтығысып, екеуі де тоқтауы) импульстің сақталу заңына қайшы келмейтін қандай жағдайда болуы мүмкін? Мұндай жағдайда кинетикалық энергия туралы не айтуға болады?
   Жауап

   Студенттің «соңғы импульс нөл болғандықтан импульс сақталмайды» деген пікірі қате. Импульстің сақталу заңы бойынша жүйенің толық импульсі тұрақты болуы керек. Егер жүйенің бастапқы толық импульсі нөл болса, соңғы толық импульстің нөл болуы сақталу заңына қайшы емес. Сәйкестік шарты: Бұл жағдай (екі дене соқтығысып, екеуі де тоқтайды, яғни v_{1_соңғы} = 0 және v_{2_соңғы} = 0) импульстің сақталу заңына сәйкес болуы үшін жүйенің бастапқы толық импульсі де нөл болуы керек. Бастапқы толық импульс = m₁u₁ + m₂u₂. Соңғы толық импульс = 0. Импульстің сақталуы үшін: m₁u₁ + m₂u₂ = 0. Бұл екі дененің импульстері модулі бойынша тең, бағыты қарама-қарсы болған жағдайда орындалады. Мысалы:

   • 1-дене (массасы m₁) оңға u₁ жылдамдықпен қозғалады.
   • 2-дене (массасы m₂) солға u₂ жылдамдықпен қозғалады.
   • Егер m₁u₁ = -m₂u₂ болса (импульстері тең және қарама-қарсы), онда бастапқы толық импульс нөлге тең.