1. Learning Objectives

By the end of this lesson, you will be able to:

• 1.3.1 Understand and explain the effects of systematic errors (including zero errors) and random errors in measurements.
• 1.3.2 Understand the distinction between precision and accuracy.

2. Language Objectives

After completing this lesson, you should be able to:

• Define and differentiate between systematic errors, random errors, precision, and accuracy using appropriate scientific terminology.
• Describe real-world examples of each type of error and their impact on experimental data.
• Discuss strategies for minimizing different types of errors in practical investigations.
• Explain the importance of reporting uncertainties in scientific measurements.

3. Key Terms

Familiarize yourself with the following essential terms:

3.1 Flashcards

Test your knowledge with these flashcards:

4. Glossary

Systematic Error:

A consistent, repeatable error associated with faulty equipment or a flawed experimental design. These errors can often be identified and corrected.

Translation

Русский: Систематическая ошибка – это последовательная, повторяющаяся ошибка, связанная с неисправным оборудованием или неправильным экспериментальным дизайном. Эти ошибки часто можно выявить и исправить.

Қазақша: Жүйелі қате – бұл ақаулы жабдыққа немесе қате эксперименттік дизайнға байланысты тұрақты, қайталанатын қате. Бұл қателерді жиі анықтауға және түзетуге болады.

Random Error:

Unpredictable variations in measurements that occur due to uncontrolled factors. These errors cannot be eliminated but can be reduced by taking multiple readings and calculating an average.

Translation

Русский: Случайная ошибка – это непредсказуемые вариации в измерениях, которые возникают из-за неконтролируемых факторов. Эти ошибки нельзя полностью исключить, но их можно уменьшить, взяв несколько показаний и вычислив среднее значение.

Қазақша: Кездейсоқ қате – бұл бақыланбайтын факторларға байланысты өлшемдерде болатын болжанбайтын ауытқулар. Бұл қателерді толығымен жою мүмкін емес, бірақ оларды бірнеше рет оқылымдарды алып, орташа мәнді есептеу арқылы азайтуға болады.

Precision:

The closeness of agreement between independent measurements obtained under the same conditions. It refers to the reproducibility of measurements, regardless of their proximity to the true value.

Translation

Русский: Точность (воспроизводимость) – это степень близости между независимыми измерениями, полученными в одинаковых условиях. Она относится к воспроизводимости измерений, независимо от их близости к истинному значению.

Қазақша: Дәлдік (қайталанушылық) – бұл бірдей жағдайда алынған тәуелсіз өлшемдер арасындағы келісімнің жақындығы. Ол өлшемдердің шынайы мәнге жақындығына қарамастан, олардың қайталану мүмкіндігіне қатысты.

Accuracy:

The closeness of a measured value to the true or accepted value. A measurement is accurate if it is very close to the true value.

Translation

Русский: Правильность (близость к истинному значению) – это степень близости измеренного значения к истинному или принятому значению. Измерение является правильным, если оно очень близко к истинному значению.

Қазақша: Дұрыстық (шындық мәніне жақындық) – бұл өлшенген мәннің шын немесе қабылданған мәнге жақындығы. Егер өлшем шын мәнге өте жақын болса, ол дұрыс болып саналады.

Uncertainty:

A quantitative estimate of the doubt about the result of a measurement. It indicates the range within which the true value is expected to lie.

Translation

Русский: Погрешность / Неопределенность – это количественная оценка сомнения относительно результата измерения. Она указывает диапазон, в котором, как ожидается, находится истинное значение.

Қазақша: Белгісіздік / Қателік – бұл өлшем нәтижесіне қатысты күмәнді сандық бағалау. Ол шын мәннің жатуы мүмкін диапазонын көрсетеді.

Zero Error:

A type of systematic error where a measuring instrument does not read zero when it should. This can lead to all subsequent readings being consistently too high or too low.

Translation

Русский: Нулевая ошибка – это тип систематической ошибки, при которой измерительный прибор не показывает ноль, когда должен. Это может привести к тому, что все последующие показания будут постоянно завышены или занижены.

Қазақша: Нөлдік қате – бұл өлшеу құралы нөлді көрсетпеген кезде пайда болатын жүйелі қатенің бір түрі. Бұл кейінгі барлық оқылымдардың үнемі жоғары немесе төмен болуына әкелуі мүмкін.

Resolution:

The smallest change in the quantity being measured that can be detected by a measuring instrument. It is often determined by the smallest division on the scale of the instrument.

Translation

Русский: Разрешение – это наименьшее изменение измеряемой величины, которое может быть обнаружено измерительным прибором. Оно часто определяется наименьшим делением на шкале прибора.

Қазақша: Ажыратымдылық – бұл өлшенетін шамадағы өлшеу құралымен анықталуы мүмкін ең аз өзгеріс. Ол көбінесе аспаптың шкаласындағы ең кіші бөлумен анықталады.

Anomalous Reading:

A reading that falls outside the expected range of measurements or does not fit the pattern of other readings. Anomalous readings are often due to a mistake during the experiment and should be investigated or excluded from calculations.

Translation

Русский: Аномальное значение – это показание, которое выходит за пределы ожидаемого диапазона измерений или не соответствует закономерности других показаний. Аномальные показания часто возникают из-за ошибки во время эксперимента и должны быть исследованы или исключены из расчетов.

Қазақша: Аномальды көрсеткіш – бұл өлшемдердің күтілетін диапазонынан тыс түсетін немесе басқа оқылымдардың үлгісіне сәйкес келмейтін көрсеткіш. Аномальды көрсеткіштер көбінесе эксперимент кезіндегі қателікке байланысты болады және оларды зерттеу немесе есептеулерден алып тастау керек.

5. Theory of Errors and Uncertainties

In physics, all measurements are subject to some degree of **_error_** or **_uncertainty_**. It is crucial to understand these limitations to interpret experimental results accurately and to design effective experiments. Errors can generally be categorized into two main types: systematic errors and random errors.

Systematic Errors

A **_systematic error_** is a consistent, repeatable error associated with faulty equipment or a flawed experimental design. These errors consistently shift measurements in the same direction, either consistently higher or consistently lower than the true value. They affect the **_accuracy_** of a measurement.

Examples of systematic errors include:

• **_Zero Error_**: When a measuring instrument does not read zero when it should. For example, a balance that reads 0.5 g when nothing is on it will add 0.5 g to every measurement. This can be a **_positive zero error_** (reading too high) or a **_negative zero error_** (reading too low).
  
  Қазақша аударма

  Нөлдік қате: Өлшеу құралы нөлді көрсетпеген кезде. Мысалы, егер таразыда ештеңе жоқ кезде 0,5 г көрсетсе, ол әрбір өлшемге 0,5 г қосады. Бұл оң нөлдік қате (көрсеткіш тым жоғары) немесе теріс нөлдік қате (көрсеткіш тым төмен) болуы мүмкін.

• **_Incorrect Calibration_**: An instrument that is not properly calibrated will give consistently false readings.
  
  Қазақша аударма

  Дұрыс калибрленбеу: Дұрыс калибрленбеген құрал үнемі жалған көрсеткіштер береді.

• **_Observer Bias_**: A person consistently reading a scale from an incorrect angle (**_parallax error_**) can lead to systematic errors.
  **_Parallax error_**Көру бұрышына байланысты қате
  Қазақша аударма

  Бақылаушының ықпалы: Шкаланың дұрыс емес бұрышынан үнемі оқитын адам (параллакс қатесі) жүйелі қателерге әкелуі мүмкін.

Systematic errors affect the **_accuracy_** of measurements. They can often be identified and corrected by proper calibration, adjusting the experimental setup, or applying a correction factor to the results.

Random Errors

**_Random errors_** are unpredictable variations in measurements that occur due to uncontrolled factors. These errors cause readings to fluctuate around the true value in an inconsistent way. They affect the **_precision_** of a measurement.

Examples of random errors include:

• **_Fluctuations in experimental conditions_**: Tiny, unpredictable changes in temperature, air currents, or voltage supply.
  
  Қазақша аударма

  Эксперименттік жағдайлардағы ауытқулар: Температурадағы, ауа ағындарындағы немесе кернеу көзіндегі кішкентай, болжанбайтын өзгерістер.

• **_Human Reaction Time_**: In timing experiments, the slight variation in when an individual starts or stops a stopwatch.
  
  Қазақша аударма

  Адамның реакция уақыты: Уақытты анықтайтын эксперименттерде, жеке адамның секундомерді қашан бастайтыны немесе тоқтататынындағы аздаған айырмашылық.

• **_Difficulty in reading a scale_**: Estimating the last digit on an analogue scale due to limitations in the instrument’s **_resolution_**.
  
  Қазақша аударма

  Шкаланы оқудағы қиындық: Аспаптың ажыратымдылығындағы шектеулерге байланысты аналогтық шкаладағы соңғы санды бағалау.

Random errors cannot be eliminated, but their effect can be reduced by taking multiple readings and calculating an average. The more readings taken, the closer the average will be to the true value.

Precision vs. Accuracy

It is important to understand the distinction between **_precision_** and **_accuracy_**.

• **_Accuracy_** refers to how close a measurement is to the true or accepted value. A highly accurate measurement has a small systematic error.
  
  Қазақша аударма

  Дұрыстық – бұл өлшемнің шын немесе қабылданған мәнге қаншалықты жақын екендігін білдіреді. Жоғары дәлдікпен өлшенген мәнде жүйелі қате аз болады.

• **_Precision_** refers to the consistency or reproducibility of a set of measurements. A highly precise measurement has a small random error. If you repeat a measurement multiple times and get very similar results each time, your measurements are precise.
  
  Қазақша аударма

  Дәлдік – бұл өлшемдер жиынтығының тұрақтылығын немесе қайталанатынын білдіреді. Жоғары дәлдікпен өлшенген мәнде кездейсоқ қате аз болады. Егер сіз өлшемді бірнеше рет қайталасаңыз және әр жолы өте ұқсас нәтижелер алсаңыз, сіздің өлшемдеріңіз дәл болады.

Think of it like throwing darts at a target:

• If all your darts are clustered tightly together but far from the bullseye, your throws are **_precise_** but not **_accurate_**. This indicates a significant systematic error (e.g., you’re consistently aiming too far left).
  
  Қазақша аударма

  Егер барлық дарттарыңыз нысананың орталығынан алыс, бірақ бір-біріне тығыз топтасса, сіздің лақтыруларыңыз дәл, бірақ дұрыс емес. Бұл айтарлықтай жүйелі қатені көрсетеді (мысалы, сіз үнемі тым солға бағыттап отырсыз).

• If your darts are spread out all over the board but average out around the bullseye, your throws are **_accurate_** but not **_precise_**. This indicates significant random errors (e.g., your aim is inconsistent).
  
  Қазақша аударма

  Егер сіздің дарттарыңыз тақтаның барлық жеріне таралып, бірақ орталыққа жақын орташаланса, сіздің лақтыруларыңыз дұрыс, бірақ дәл емес. Бұл айтарлықтай кездейсоқ қателерді көрсетеді (мысалы, сіздің бағыттауыңыз тұрақсыз).

• If all your darts are tightly clustered around the bullseye, your throws are both **_precise_** and **_accurate_**. This is the ideal scenario in experimental measurements.
  
  Қазақша аударма

  Егер барлық дарттарыңыз нысананың орталығына тығыз топтасса, сіздің лақтыруларыңыз дәл де, дұрыс та болып табылады. Бұл эксперименттік өлшемдердегі идеалды сценарий.

Uncertainty in Measurements

No measurement is ever exact. There is always an **_uncertainty_** associated with any measurement. This uncertainty arises from the limitations of the measuring instrument, the method of measurement, and the skill of the experimenter.

The uncertainty is typically expressed as a range, e.g., $10.0 pm 0.1$ cm. This means the true value is expected to lie between 9.9 cm and 10.1 cm. The $pm$ value is the absolute uncertainty.

For analogue instruments, the uncertainty is often taken as half the smallest division on the scale. For digital instruments, it’s typically the smallest increment the instrument can display.

When combining measurements, uncertainties must be combined appropriately:

• **_Adding/Subtracting Quantities_**: Add absolute uncertainties.
  If $X = A + B$ or $X = A — B$, then $Delta X = Delta A + Delta B$.
  
  Қазақша аударма

  Шамаларды қосу/азайту: Абсолютті белгісіздіктерді қосыңыз.

  Егер $X = A + B$ немесе $X = A — B$ болса, онда $Delta X = Delta A + Delta B$.

• **_Multiplying/Dividing Quantities_**: Add percentage or fractional uncertainties.
  If $X = A times B$ or $X = A / B$, then $frac{Delta X}{X} = frac{Delta A}{A} + frac{Delta B}{B}$.
  
  Қазақша аударма

  Шамаларды көбейту/бөлу: Пайыздық немесе бөлшек белгісіздіктерді қосыңыз.

  Егер $X = A times B$ немесе $X = A / B$ болса, онда $frac{Delta X}{X} = frac{Delta A}{A} + frac{Delta B}{B}$.

• **_Raising to a Power_**: Multiply percentage uncertainty by the power.
  If $X = A^n$, then $frac{Delta X}{X} = n frac{Delta A}{A}$.
  
  Қазақша аударма

  Дәрежеге көтеру: Пайыздық белгісіздікті дәрежеге көбейтіңіз.

  Егер $X = A^n$ болса, онда $frac{Delta X}{X} = n frac{Delta A}{A}$.

Understanding and reporting uncertainties is a fundamental part of scientific practice, providing a measure of the reliability of experimental data.

(Content adapted from Cambridge AS & A Level Physics curriculum resources, and inspired by content found on physicsandmathtutors.com and savemyexams.com)

6. Exercises on Memorization of Lesson Terms

Complete the following exercises to reinforce your understanding of the key terms:

1. Match the Definition: Match each term with its correct definition.
   

   Terms: Systematic Error, Random Error, Precision, Accuracy, Zero Error

   Definitions:

   1. The closeness of agreement between independent measurements.
   2. A consistent, repeatable error often due to faulty equipment.
   3. Unpredictable variations in measurements due to uncontrolled factors.
   4. The closeness of a measured value to the true value.
   5. An instrument reading a non-zero value when it should read zero.
   Answer

   1. Precision
   2. Systematic Error
   3. Random Error
   4. Accuracy
   5. Zero Error

2. True or False: Indicate whether each statement is true or false. Correct any false statements.
   

   a) Increasing the number of readings helps to reduce systematic errors.

   b) An experiment that is precise but not accurate has a high random error.

   c) A positive zero error means all readings will be consistently lower than the true value.

   Answer

   a) False. Increasing the number of readings helps to reduce random errors, not systematic errors.

   b) False. An experiment that is precise but not accurate has a low random error but a high systematic error.

   c) False. A positive zero error means all readings will be consistently higher than the true value.

3. Fill in the Blanks: Complete the sentences using the appropriate terms.
   

   a) ______________ errors affect the accuracy of a measurement, while ______________ errors affect its precision.

   b) If your measuring instrument reads 2.0 cm when it should read 0.0 cm, you have a ______________ error.

   c) To improve the ______________ of your results, you should repeat your experiment multiple times and average your readings.

   Answer

   a) Systematic, random

   b) zero

   c) precision

7. Video Resources

Watch this video to gain further insight into errors and uncertainties in measurements:

Additional Resources:

• Measuring and Recording Data (Systematic and Random Errors) — YouTube
• Accuracy vs Precision — YouTube
• Calculating Uncertainty — YouTube

8. Worked Examples of Problem Solving

Example 1: Identifying Error Types

A student uses a stopwatch to measure the time it takes for a pendulum to complete 20 oscillations. They repeat the measurement three times and get the following results: 30.1 s, 30.3 s, 30.0 s. The actual time for 20 oscillations is 29.5 s.

1. Calculate the average time measured by the student.
2. Comment on the precision and accuracy of the student’s measurements.
3. Suggest one possible source of random error and one possible source of systematic error in this experiment.

Image related to pendulum experiment:

Example 2: Calculating Uncertainty

The length of a table is measured as $1.50 pm 0.02$ m and its width as $0.80 pm 0.01$ m. Calculate the area of the table and the absolute uncertainty in the area.

9. Research Assignment: Exploring Measurement Tools and Errors with Simulations

Use the PhET simulation to explore how different measuring instruments work and how their limitations contribute to uncertainties and errors. This will help you visualize systematic and random errors in a practical context.

PhET Simulation: Measuring Devices

Instructions:

1. Open the «Measure It!» simulation from PhET Colorado.
2. Experiment with different measuring tools (ruler, protractor, timer) and objects.
3. Try to measure the length of an object multiple times. Observe how your readings might vary.
4. Think about how you could introduce a systematic error (e.g., always starting the ruler from an incorrect point).
5. Consider how random errors might naturally occur (e.g., slight variations in eye position when reading the scale).

Questions for Reflection:

1. Describe one way you could simulate a «zero error» using the ruler in the simulation.
2. How does the resolution of the ruler in the simulation affect the precision of your measurements?
3. What are some strategies you could use within the simulation to minimize random errors when measuring an object’s length?

10. Pair or Group Activity

Work with a partner or in a small group to complete the following interactive activity. This will help you discuss and solidify your understanding of precision and accuracy.

Activity from LearningApps.org: «Precision vs. Accuracy»

Instructions:

1. Access the LearningApps activity linked above.
2. As a pair/group, discuss each question and collectively decide on the correct answer.
3. Pay attention to the feedback provided by the app and discuss why certain answers are correct or incorrect.
4. If time permits, create your own simple «Match the Pairs» or «Quiz» activity on LearningApps.org using terms from this lesson.

11. Individual Task: Structured Questions

Answer the following structured questions to assess your understanding of errors and uncertainties. Show all your working for calculations.

1. A student measures the length of a piece of wire using a ruler. They take five readings: 24.3 cm, 24.5 cm, 24.4 cm, 24.3 cm, 24.6 cm. The true length of the wire is 24.0 cm.
   1. Calculate the mean length of the wire.
   2. Comment on the precision of these measurements.
   3. Comment on the accuracy of these measurements.
   4. Suggest one possible source of systematic error in this experiment.
   Answer

   1. Mean length = $(24.3 + 24.5 + 24.4 + 24.3 + 24.6) / 5 = 122.1 / 5 = 24.42 text{ cm}$.
   2. The measurements are quite close to each other (range is 24.6 — 24.3 = 0.3 cm), indicating good precision.
   3. The mean length (24.42 cm) is higher than the true length (24.0 cm), indicating poor accuracy, suggesting the presence of a systematic error.
   4. Possible systematic error: The ruler might have a positive zero error, or the student consistently starts the measurement from a point slightly off the true zero.

2. Explain the difference between random errors and systematic errors, providing one example for each in a physics experiment.
   
   Answer

   Random Errors: Unpredictable variations in measurements that cause readings to fluctuate around the true value inconsistently. They affect precision. Example: Variations in human reaction time when timing an event with a stopwatch.

   Systematic Errors: Consistent, repeatable errors that cause measurements to be consistently higher or lower than the true value. They affect accuracy. Example: A voltmeter that always reads 0.1 V higher than the actual voltage due to incorrect calibration.

3. A student measures the mass of an object as $25.0 pm 0.5$ g and its volume as $5.0 pm 0.2$ cm$^3$.
   1. Calculate the density of the object.
   2. Calculate the percentage uncertainty in the mass.
   3. Calculate the percentage uncertainty in the volume.
   4. Calculate the percentage uncertainty in the density.
   5. Calculate the absolute uncertainty in the density.
   6. State the density with its absolute uncertainty.
   Answer

   1. Density ($rho$) = Mass / Volume = $25.0 text{ g} / 5.0 text{ cm}^3 = 5.0 text{ g/cm}^3$.
   2. Percentage uncertainty in mass = $(frac{0.5}{25.0}) times 100% = 2%$.
   3. Percentage uncertainty in volume = $(frac{0.2}{5.0}) times 100% = 4%$.
   4. Percentage uncertainty in density (for division, add percentage uncertainties) = $2% + 4% = 6%$.
   5. Absolute uncertainty in density = $6%$ of $5.0 text{ g/cm}^3 = (0.06) times 5.0 = 0.3 text{ g/cm}^3$.
   6. Density = $5.0 pm 0.3 text{ g/cm}^3$.

4. A student measures the period of a simple pendulum, $T$. They find that $T = 2.0 pm 0.1$ s. They want to calculate $T^2$.
   1. Calculate $T^2$.
   2. Calculate the percentage uncertainty in $T$.
   3. Calculate the percentage uncertainty in $T^2$.
   4. Calculate the absolute uncertainty in $T^2$.
   5. State $T^2$ with its absolute uncertainty.
   Answer

   1. $T^2 = (2.0 text{ s})^2 = 4.0 text{ s}^2$.
   2. Percentage uncertainty in $T = (frac{0.1}{2.0}) times 100% = 5%$.
   3. Percentage uncertainty in $T^2$ (for powers, multiply percentage uncertainty by the power) = $2 times 5% = 10%$.
   4. Absolute uncertainty in $T^2 = 10%$ of $4.0 text{ s}^2 = (0.10) times 4.0 = 0.4 text{ s}^2$.
   5. $T^2 = 4.0 pm 0.4 text{ s}^2$.

5. Describe how a **_zero error_** can affect the **_accuracy_** of measurements and suggest how to correct for it.
   
   Answer

   A zero error is a type of systematic error where a measuring instrument does not read zero when it should. This leads to all subsequent readings being consistently too high (positive zero error) or too low (negative zero error), thereby directly affecting the **_accuracy_** of the measurements by shifting them away from the true value.

   To correct for a zero error:

   • Positive Zero Error: If the instrument reads a positive value (e.g., +0.5 g) when it should read zero, this value should be subtracted from all subsequent readings.
   • Negative Zero Error: If the instrument reads a negative value (e.g., -0.2 V) when it should read zero, the absolute value of this error should be added to all subsequent readings (i.e., subtract the negative error).
   • Alternatively, adjust the instrument to read zero before taking measurements if possible.

12. Further Resources

For more in-depth study and practice, explore these external resources:

• Save My Exams — Errors and Uncertainties (AS & A Level Physics)
• PhysicsAndMathTutors.com — Errors and Uncertainties (A Level Physics)
• Youtube for «Physics A Level Errors and Uncertainties»

13. Reflection

Take a few moments to reflect on what you’ve learned in this lesson. Consider the following questions:

• What was the most challenging concept for you in this lesson, and why?
• How has your understanding of experimental errors changed after this lesson?
• In what real-world scenarios might understanding precision and accuracy be particularly important?
• What is one key takeaway you will remember about handling uncertainties in your future experiments?
• How confident do you feel about applying the concepts of systematic and random errors in a practical setting?

Feel free to write down your reflections in a notebook or discuss them with a study partner.